Сочинения в двух томах. Том 1

Однако по крайней мере Аристотель [314]

не считал немыслимой выставляемую у геометров длину без ширины (длину стены, говорит он, мы принимаем без присоединения ее к ширине стены). Но он заблуждался. Действительно, когда мы принимаем длину стены без ширины, то мы принимаем ее не безо всякой ширины, но без ширины именно стены. Ведь можно же, сочетав длину стены с любой шириной, какова бы эта последняя ни была, иметь о ней понятие так, чтобы принимать длину не без всякой ширины, а [только] без этой некоторой ширины. Аристотелю надлежало показать не то, что можно мыслить длину без какой-либо ширины, а то, что ее можно мыслить без всякой ширины. Но он этого не показал.

Кроме того, если геометры называют линию не только длиной без ширины, но и границей плоскости, то можно и в более общей форме строить апории относительно линии и плоскости. Действительно, если линия есть граница плоскости, будучи длиной без ширины, то, конечно, по приложении плоскости к плоскости или две линии, [ограничивающие эти плоскости], становятся параллельными, или образуется из обеих одна. И если две параллельные линии становятся одною, то, поскольку линия есть граница плоскости и плоскость граница тела, когда две линии стали одной, две плоскости тоже станут одной. Таким образом, и два тела станут одним телом, и приложение уже не будет приложением, но соединением. Это, однако, невозможно. Ведь при взаимном приложении тел друг к другу в некоторых случаях естественно происходит соединение (например, в случае с жидкостями), в других же не происходит (камень с камнем и сталь со сталью не превращаются в единство в случае взаимоприложения). Поэтому две линии не могут стать одною. И иначе: если мы допустим, что они стали одною и вследствие этого произошло соединение тел, то разделение их ввиду насильственности разрыва должно будет происходить не по прежним границам, но во все новых и новых частях. Но это не так. В границах сохраняется та же самая природа и до взаимного приложения, и после разделения. Следовательно, две параллельные линии не становятся одною.

Вместе с этим если две линии становятся одною, то прилагаемые друг к другу тела потеряют один край. Ведь две линии стали одною, а одна по необходимости должна иметь один край. Но прилагаемые друг к другу тела во всяком случае не теряют края. Следовательно, две линии не могут стать одною. Если же параллельных линий остается две, то соединение двух будет больше одной. Если же соединение двух линий будет больше одной линии, то каждая из них будет иметь ширину, которая в соединении с другою увеличивает расстояние. Таким образом, линия не есть длина без ширины. Или, если она есть таковая, то, как мы показали, должна будет, поколебаться и самая очевидность.

Итак, вот что прежде всего следует сказать против такого рассуждения у математиков относительно тел и их границ.

Идя дальше, мы рассмотрим, может ли преуспеть их рассуждение с точки зрения их собственных гипотез. Итак, геометрам угодно, чтобы прямая линия, вращаясь, всеми своими частями описывала круги. Но, очевидно, этой их теореме как раз противоречит их же собственное [положение], что линия есть длина без ширины. Ведь поскольку всякая часть линии, как они говорят, содержит знак точки, а знак точки своим движением описывает круг, то, когда прямая линия, вращаясь и всеми своими частями описывая круг, измерит собою расстояние на плоскости от центра до крайней окружности, тогда получающиеся при этом концентрические круги или сольются, или будут находиться друг от друга на известном расстоянии. Который бы из этих двух [случаев] ни избрали геометры, они все равно должны впасть в прямо-таки неразрешимую апорию.

В самом деле, если упомянутые круги находятся на известном расстоянии друг от друга, то это значит, что некоторая часть плоскости не образует круга и некоторая часть линии не описывает окружности — именно та, которая соответствует этому [не образовавшему круга] протяжению поверхности.