Стратегии решения математических задач

Попробуем взглянуть на эту задачу с другой точки зрения. Искомые числа должны иметь форму 7n + 3, а также форму 5k + 4, где n и k — целочисленные неизвестные. Объединим эти величины так, чтобы искать числа в форме 35r + p, где r и p — целочисленные неизвестные. Первый ряд чисел, имеющих форму 7n + 3, также можно представить, как 35r + 3, 35r + 10, 35

r + 17, 35r + 24 и 35r + 31. Только одно из этих чисел имеет также форму 5k + 4, а именно 35r + 24. Для того, чтобы узнать, какие числа менее 100, удовлетворяют этому соотношению, зададим r = 0, 1 и 2 и получим три искомых числа: 24, 59 и 94.

Задача 4.5

Какое из следующих двух выражений больше, √5 + √8 или √4 + √10

Обычный подход

Учитывая нынешнее распространение калькуляторов, не удивительно, что люди обычно извлекают квадратный корень из каждого числа, затем определяют их суммы и получают требуемый ответ. Хотя такой подход довольно эффективен, его, конечно, не назовешь изящным.

Образцовое решение

Взглянем на задачу с другой точки зрения, а именно возведем в квадрат каждую из этих сумм и посмотрим, каким будет результат.

Упростив, таким образом, условия, мы видим, что сумма является большей из двух величин.

Задача 4.6

Чему равны все положительные целочисленные значения переменной n, для которой дробь также является целым числом?

Обычный подход

Первой реакцией на эту задачу является попытка подставить разные значения n и посмотреть, какой результат будет целым числом. Например, если принять n = 4, мы получим т. е. целое число. Хотя такой подход и позволяет выявить некоторые значения n, очень трудно сказать, все ли значения найдены. В результате обычно получается неполный ответ.

Образцовое решение

Воспользуемся стратегией принятия другой точки зрения. Для начала выполним деление:

Чтобы эта величина была целым числом, n — 3 должно быть пропорционально 36. Делителями для числа 36 являются 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 и 36. Таким образом:

Значения n, при которых является целым числом, равны 4, 5, 6, 7, 9, 12, 15, 21 и 39.

Задача 4.7

Каждый из 10 придворных ювелиров дает королевскому советнику г-ну Саксу стопку золотых монет. В каждой стопке находится 10 монет. Полноценные монеты весят 1 унцию. Однако в одной из стопок находятся «неполновесные» монеты, каждая из которых весит на 0,1 унции меньше. Г-н Сакс хочет выявить ювелира-жулика и стопку неполновесных монет с помощью всего лишь одного взвешивания. Как это сделать?

Обычный подход

Традиционная процедура начинается со случайного выбора стопки и ее взвешивания. Такой метод проб и ошибок дает искомый результат всего в 1 случае из 10. Учитывая это, можно попытаться решить задачу путем логического рассуждения. Прежде всего, если все монеты полновесные, их общий вес должен составлять 10 × 10 = 100 унций. Каждая из 10 неполновесных монет имеет меньший вес, поэтому недостача должна составить 10 × 0,1 = 1 унцию. Однако подход с точки зрения общей недостачи ничего не дает, поскольку она может оказаться в любой из стопок — в первой, второй, третьей и т. д.

Образцовое решение

Попробуем решить задачу, организовав данные иначе. Нам необходимо найти такой метод обнаружения недостачи, позволяющий идентифицировать стопку, из которой взяты неполновесные монеты. Присвоим стопкам номера № 1, № 2, № 3, № 4, …, № 9, № 10. Затем возьмем одну монету из стопки № 1, две монеты из стопки № 2, три монеты из стопки № 3, четыре монеты из стопки № 4 и т. д. Всего у нас получилось 1 + 2 + 3 + 4 + … + 8 + 9 + 10 = 55 монет. Если все монеты полновесные, то их общий вес должен составить 55 унций. Если обнаружится недостача 0,5 унции, значит в навеске присутствуют 5 неполновесных монет из стопки № 5. Если обнаружится недостача 0,7 унции, значит в навеске присутствуют 7 неполновесных монет из стопки № 7 и т. д. Таким образом, г-н Сакс может легко определить стопку неполновесных монет и ювелира, который принес эти монеты.

Задача 4.8

Ресторан быстрого питания продает куриные наггетсы в коробках по 7 штук и по 3 штуки. Какое наибольшее количество наггетсов нельзя купить?

Обычный подход

Мы просто пытаемся найти ответ путем перебора сочетаний 7 и 3 до тех пор, пока не дойдем до точки, начиная с которой можно купить любое количество наггетсов.

По всей видимости, наибольшее количество наггетсов, которое нельзя купить, равно 11. После этого все, что нужно, это добавлять 3 или 7.

Образцовое решение