Стратегии решения математических задач

Здесь мы обратимся к идее, привносящей в решение определенное изящество, и предоставим читателю возможность самому разобраться, почему это так, а не иначе. Существует теорема, известная под названием «теорема макнаггетсов». В соответствии с ней, если McDonald's продает макнаггетсы в коробках по a или b штук, где a и b не имеют общих множителей, то наибольшее количество макнаггетсов, которое нельзя купить, равно ab — (a + b). Например, если они продаются в коробках по 8 и 5 штук, то наибольшее количество макнаггетсов, которое нельзя купить, составляет 8 × 5 — (8 + 5) = 40–13 = 27.

В нашей задаче, наибольшее количество наггетсов, которое нельзя купить, равно 3 × 7 — (3 + 7), или 21–10 = 11.

Задача 4.9

Упростите каждое из следующих выражений:

Обычный подход

Хотя есть соблазн взять калькулятор и вычислить значение этих выражений, нередко наши надежды не оправдываются, и мы получаем на табло лишь сообщение error.

Образцовое решение

Подойдем к решению этой задачи с другой точки зрения. Учитывая, что число 3 возводить в степень довольно просто, решим задачу следующим образом:

Второе выражение можно упростить, разбив числа на простые множители следующим образом:

Задача 4.10

И у Вольфганга, и у Людвига есть целое число евро, причем каждое из них меньше 100. Когда они посчитали свои деньги, оказалось, что три четверти суммы Вольфганга равны двум третям суммы Людвига. Какое максимальное число евро может быть у каждого из них?

Обычный подход

Первая реакция — применить алгебраический подход. Мы можем составить одно уравнение с двумя неизвестными. Пусть W

представляет количество евро у Вольфганга, а L — количество евро у Людвига. Наше уравнение имеет следующий вид:

Умножим обе части уравнения на 12 и получим: 9W = 8L. Решение уравнения для W дает следующий результат:

Поскольку у каждого из мальчиков по целому числу евро, сумма Людвига должна быть кратной 9, т. е. 9, 18, 27, 36, …, 99. Теперь можно подставить каждое из этих чисел в уравнение и определить количество евро у Людвига. Наибольшее количество евро, которое может иметь Людвиг, составляет 11 × 9, или 99 евро (менее, чем 100). Мы знаем, что суммы Людвига (66 евро) равны суммы Вольфганга. Таким образом, сумма Вольфганга составляет или 88 евро, а сумма Людвига — 99 евро.

Образцовое решение

Воспользуемся арифметическим подходом и взглянем на задачу с другой точки зрения. Поскольку суммы Вольфганга равны суммы Людвига, найдем эквивалентные дроби с одинаковым числителем:

Если у Вольфганга 8 евро, а у Людвига 9 евро, то части их сумм становятся одинаковыми и равными 6 евро. Поэтому ответ должен быть равен произведению одного и того же множителя на 8 и 9. Таким образом, наибольшая сумма, которую может иметь Людвиг, составляет 11 × 9, или 99 евро, а наибольшая сумма Вольфганга — 11 × 8, или 88 евро.

Ответ можно проверить, определив величину от 88 евро (66) и от 99 евро (66).

Задача 4.11

На рис. 4.3 ширина прямоугольника AEFK равна AK = 8, а длина AE разделена на четыре части AB = 1, BC = 6, CD = 4 и DE = 2. Чему равна площадь четырех закрашенных треугольников?

Обычный подход

Очевидный подход — найти площадь каждого из четырех треугольников и сложить их. Во всех четырех случаях высота треугольника равна ширине прямоугольника AK = 8. Таким образом, площади четырех треугольников составляет:

Сумма этих площадей равна 4 + 24 + 16 + 8 = 52.

Образцовое решение

Воспользуемся нашей стратегией принятия другой точки зрения на решение задачи. Треугольники имеют одну и ту же высоту, а именно 8. Сумма оснований четырех треугольников равна длине прямоугольника, т. е. 13. Таким образом, площадь четырех закрашенных треугольников равна половине площади прямоугольника, или

Задача 4.12

Определите, сколько чисел можно составить из цифр от 1 до 9 при условии, что цифры в этих числах должны располагаться в порядке возрастания.

Обычный подход

Большинство людей, скорее всего, воспользуются методом проб и ошибок и попытаются выяснить, нет ли здесь какой закономерности, и будут добавлять в список одно число за другим, т. е. сначала однозначные числа, затем двухзначные, трехзначные и т. д. Если выполнить эту работу тщательно, то можно получить правильный ответ, однако такой подход трудоемок.

Образцовое решение

Рассмотрим сначала набор целых чисел, имеющихся в нашем распоряжении {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Каждое подмножество этих цифр, за исключением пустого, должно давать одно из искомых чисел. Например, подмножество {3, 5, 7, 9} дает число 3579. Вопрос в том, сколько таких подмножеств можно выделить в нашем ряду из девяти цифр. Их количество равно 2⁹ = 512. Вместе с тем сюда вошло пустое подмножество, которое необходимо вычесть. Таким образом, мы получаем 2⁹ — 1 = 511 подмножеств из 9 цифр, каждое из которых дает число, где в соответствии с условием задачи, цифры могут располагаться в порядке возрастания.

Задача 4.13