Стратегии решения математических задач

На рис. 4.4 показан равнобедренный треугольник с бесконечным рядом окружностей, каждая из которых касается двух равных сторон треугольника и соседних окружностей, а нижняя окружность касается основания треугольника. Стороны равнобедренного треугольника равны 13, 13 и 10. Чему равна сумма длин этих окружностей?

Обычный подход

Занудный по определению подход предполагает вычисление длины каждой окружности с последующим определением суммы их длин. Подсчеты в этом случае очень трудоемки, но при тщательном выполнении они могут дать правильный ответ.

Образцовое решение

Воспользуемся стратегией рассмотрения задачи с другой точки зрения. С помощью теоремы Пифагора находим, что высота равнобедренного треугольника равна 12. Заметим, что сумма диаметров бесконечного числа окружностей равна высоте равнобедренного треугольника. Таким образом, сумма длин окружностей равна сумме диаметров, умноженной на π, т. е. 12π.

Задача 4.14

Чему равен наименьший неотрицательный остаток при делении 22⁷ на 123?

Обычный подход

Как правило, при решении этой задачи люди тратят кучу времени на определение значения числа 22⁷, а потом делят результат на 123.

Образцовое решение

Мы подойдем к решению задачи с другой точки зрения. Вместо развертывания 22⁷ в число без степени разложим его на числа в степени:

22⁷

= (2⁷) (11⁷) = (2⁷) (11²) (11²) (11²) (11) = (123 + 5) (123–2) (123–2) (123–2) (11).

Теперь вспомним, что произведение двух двучленов вида 123 + s и 123 + t можно представить как 123k + st:

(123 + s) (123 + t) = 123² + 123s + 123t

+ st = 123 (123 + s + t) + st = 123k + st.

Таким образом, мы получаем:

123n — 440 = 123n − 492 + 52 = 123 (n − 4) + 52.

При делении числа 22⁷ на 123 остаток равен 52.

Задача 4.15

Во время футбольного матча команды получают 2 очка за сейфти, 3 очка за гол в ворота и 7 очков за тачдаун. Если отбросить 2 очка за сейфти, то команды смогут получать лишь по 3 и по 7 очков. Каково максимальное значение счета, которое нельзя получить в этом матче?

Обычный подход

Очевидный подход — выписывать все возможные значения счета до тех пор, пока не обнаружится максимальное значение, которое невозможно получить. Такой метод, однако, не дает уверенности в том, что не существует более высокое значение.

Образцовое решение

В этом случае можно воспользоваться стратегией принятия другой точки зрения. Вместо поисков значений счета, которые нельзя получить, определим значения, которые можно получить. Счет, который можно набрать, зарабатывая очки на голах в ворота, составляет 3, 6, 9, 12, 15, … Счет, который можно заработать на очках за тачдаун, составляет 7, 14, 21, 28, … Другие значения получаются в результате прибавления очков за гол в ворота или за тачдаун к предыдущему счету. Таким образом, значения, которые нельзя получить, составляют 2, 4, 5, 8, 11. Любой счет, начиная с 12, является доступным, как видно из следующего:

Таким образом, наивысший счет, который нельзя получить, равен 11.

Интересно отметить, что эта ситуация описывается чисто математически.

Наивысший счет, который нельзя получить при использовании двух простых чисел (a и b), равен произведению этих чисел за вычетом их суммы. В нашем случае это (7 × 3) − (7 + 3) = 11.

Задача 4.16

Число 6! (читается как «шесть факториал») равно произведению 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720. Найдите значение

Обычный подход

Обычно так и подмывает выписать все факториалы, взять калькулятор или компьютер и вычислить фактические результаты. Это, конечно, позволит получить ответ, но потребует массы арифметических расчетов.

Образцовое решение

Давайте применим стратегию принятия другой точки зрения. Каждый из факториалов можно представить как число, кратное 98! Например, 100! можно записать как 100 × 99 × 98! а 99! — как 99 × 98! В результате мы получаем:

что является ответом этой задачи.

Задача 4.17

При делении 450 на нечетное число частное представляет собой простое число без остатка. Чему равно нечетное число?

Обычный подход

Обычно 450 последовательно делят на нечетные числа (1, 3, 5, …) до тех пор, пока не найдут частное в виде простого числа. Это в конечном итоге дает результат, но может потребовать довольно много времени.

Образцовое решение

Воспользуемся нашей стратегией и посмотрим на задачу с другой точки зрения. Число 450 можно записать как 2 × 3² × 5². Поскольку 3² и 5² это нечетные числа, а 450 — четное число, то единственным возможным четным простым множителем для 450 является 2. Таким образом, нечетное число равно 3² × 5² = 225.

Задача 4.18