Стратегии решения математических задач

Так, приступая к заполнению налоговой декларации каждую весну, мы автоматически организуем данные в определенном порядке без всяких подсказок. От того, как будут организованы квитанции, чеки, формы W-2 и т. п., сильно зависит заполнение сложных форм налоговой отчетности.

Большинство людей составляют тщательно организованный список покупок, прежде чем отправиться в супермаркет. Они могут разбивать покупки по категориям, по месту расположения в магазине или по степени необходимости. Аналогичным образом, отправляясь в турпоездку, мы чаще всего составляем перечень того, что хотим посмотреть. При этом список можно изложить на бумаге или просто держать в голове.

Когда крупные организации проводят опросы, нет ничего необычного в том, что они получают разные результаты, — все зависит от того, как в каждом случае организуются одни и те же данные.

В задачах, включающих множество данных, людей нередко приводит в замешательство представление этих данных. Умение организовывать данные в логичной и ясной форме очень помогает решению задач. Рассмотрим одну из задач, где применяется эта стратегия.

Группа археологов ведет раскопки. Они ежедневно на протяжении 15 дней находят множество осколков глиняной посуды:

13, 45, 12, 47, 8, 18, 13, 27, 98, 11, 23, 67, 51, 14, 6.

Чему равно медианное количество найденных ими осколков глиняной посуды?

При таком представлении количества ежедневных находок решить данную задачу практически невозможно. Организуем данные более логичным образом — в порядке возрастания:

6, 8, 11, 12, 13, 14, 18, 23, 27, 45, 47, 51, 69, 98.

Теперь найти медиану не представляет труда. Это среднее число, в нашем случае восьмое, или 18.

Рассмотрим еще одну задачу, где очень важна организация данных.

Джек и Марлин хотят вступить в клуб любителей кино на DVD. Они получают два предложения. Клуб Freedom Movie взимает вступительный взнос в размере $20, а потом берет $6,20 за каждый фильм. Клуб New Look не требует вступительного взноса, однако берет $8,10 за каждый DVD. Джек решает присоединиться к клубу Freedom Movie, а Марлин — к клубу New Look. Сколько DVD каждый из них должен купить, прежде чем Марлин истратит больше Джека? Насколько больше она истратит?

Чтобы решить задачу, организуем данные в три колонки:

Когда они купят по 11 DVD, Марлин истратит больше денег, чем Джек. Марлин придется заплатить $89,10 − $88,20, или на 90 центов больше. Ответы на оба вопроса легко найти, проанализировав представленные в табличной форме данные.

А вот геометрическая задача, решить которую можно только при тщательной организации данных.

Треугольник имеет сумму сторон и периметр, равные 12. Чему равны длины его трех сторон?

Подготовим и организуем перечень данных, обозначив стороны треугольника, как A, B и C. Начнем с A = 1 и перечисления всех возможностей для A = 1. Затем сделаем то же самое для A = 2 и т. д.

В этом перечне все тройки чисел дают сумму, равную 12. Не забывайте, однако, что в треугольнике сумма любых двух сторон всегда больше третьей стороны, иначе треугольник не может существовать. Это условие исключает большее число сочетаний. Единственные три возможности — это 2–5–5, 4–4–4 и 3–4–5. Представление данных в упорядоченном виде значительно облегчает решение задачи.

В этой главе мы представим задачи, которые наиболее эффективно решаются путем организации данных логичным образом. Хотя некоторые из них можно решить и другими способами, они приводятся для демонстрации преимуществ этого вроде бы необычного метода решения.

Задача 7.1

Между двумя баскетбольными командами устраивают конкурс на лучшее исполнение штрафных бросков. В финал выходят Робби и Сэнди. Победителем становится тот, кто первым выполнит подряд два успешных штрафных броска или в целом три штрафных броска. Сколько комбинаций бросков может привести к победе?

Обычный подход

Большинство начинает с попыток найти все возможные комбинации, которые могут привести к победе. Однако непонятно, как определить, все ли комбинации учтены. Это довольно проблематичная задача.

Образцовое решение