Таинственные страницы. Занимательная криптография

Скорее всего, Моцарт допустил простую описку: не добавил еще один ноль к 100. Ведь он хотел написать «от моего отца 1000»; в этом случае и сумма всех именных поклонов, и конечная сумма приветов будет верна. В пользу такой версии можно привести два письма[52], адресованных отцу и которые композитор заканчивает в своей обычной манере: «Целую вам руки 1000 раз, а мою любимую сестру обнимаю от всего сердца, и остаюсь навеки ‹…› ваш послушнейший сын В. А. Моцарт». Возможно, Моцарт, когда писал своей кузине, подсчитывал свои приветы в голове, не глядя на бумагу (и не складывая их «в столбик»), то есть с арифметикой у него было все в порядке!

Этюд XVДневник юного принца

Предварим данный этюд рядом загадок. Попробуйте как можно скорее догадаться, кто этот юный принц, о котором речь в заголовке.

• Его именем названы кратер на Луне и потухший вулкан в Антарктиде.

• Филателистам известна 40-пфенниговая немецкая почтовая марка 1977 года с изображением комплексных чисел его имени, приуроченная к двухсотлетию со дня его рождения.

• На банкноте в десять марок ФРГ был его портрет, а на обратной стороне – триангуляция Гаусса (ну вот и проговорился).

Итак, карты раскрыты, речь идет об ученом, которого называют королем математики, Карле Фридрихе Гауссе (30 апреля 1777–1855). Дата рождения указана столь подробно неслучайно, но об этом чуть позже.

В октябре 1795 года будущий король математики (а пока лишь ее юный принц) К. Ф. Гаусс поступает в Геттингенский университет, не решив еще окончательно, что будет изучать – математику или филологию.

30 марта 1796 года студент-первокурсник заводит математический дневник, который ведет на языке науки – латыни. Только на третьем курсе Гаусс сделал окончательный выбор в пользу математики.

Большинство записей состоят из краткой, а иногда и загадочной заметки о полученном результате.

Самая первая запись гласит: Principia quibus innititur sectio circuli, ac divisibilitus eiusdem geometrica in septemdecim partes etc. Гаусс сделал отметку о возможности построения с помощью циркуля и линейки правильного семнадцатиугольника. Над этой задачей математики безуспешно бились более двух с половиной тысяч лет.

При жизни ученого широко применялись шифры простой замены, которые легко взламываются благодаря частотному анализу символов текста. К. Ф. Гаусс предложил использовать омофоны{40}. Например, букве А можно поставить в соответствие несколько других символов, например 8, 12 и 71. Если число символов-заменителей одной буквы взять пропорционально частоте появления этой буквы в языке, то подсчет букв в тексте становится бессмысленным. К. Ф. Гаусс был уверен, что с использованием омофонов он изобрел шифр, который невозможно взломать. Увы, он, как и многие другие изобретатели «невзламываемых» шифров, ошибался. Отметим правды ради, что еще Симеоне де Крема[53] в 1401 году{41} задолго до Гаусса впервые использовал омофоны для обеспечения равномерной частоты букв, но только гласных.

Последняя страница первого дневника К. Ф. Гаусса (еще раз напомним дату его рождения – 30 апреля 1777 года) содержит кодированные записи. Знаменательные события своей жизни ученый кодировал номерами дней, отсчитываемых от дня собственного рождения до соответствующей даты. Защитив 16 июля в 1799 году ученую степень доктора, Гаусс закодировал эту дату числом 8113. Данная запись «8113; 99.VII.16 D.» может послужить ключом к декодированию всех других чисел в дневнике, которые записаны только кодом, без дешифровки их даты.

Самим ранним знаменательным событием, отмеченным в личных записках Гаусса, был день, когда пятнадцатилетний Гаусс занялся проблемой распределения простых чисел. Это состоялось на 5343-й день после его рождения, и дата вошла в дневник под кодом 5343 (15 декабря 1791 года).

Попробуйте наперегонки с кем-нибудь декодировать следующие знаменательные числа с последней страницы записок Гаусса:

6911 и 7366.

Маленькая подсказка: можно облегчить себе вычисления, считая не со дня рождения, как делал ученый. Так, число 6911 близко к 5343, декодированному нами выше как 15 декабря 1791 года, а число 7366 еще ближе к 8113, 16 июля 1799 года.

Разберемся с первой датой. Решение для второй приводить не будем: постарайтесь все же определить эту дату своими силами. Итак, 5343 – это 15 декабря 1791 года, до нового года целых 16 дней. В 1793, 1794 и 1795 годах было по 365 дней. Високосным был 1792 год, в нем 366 дней. Получаем: 5343 + 16 + 3 × 365 + 366 = 6820, и еще остается 91 день високосного 1796 года. Аккуратно подсчитываем: январь – 31 день, февраль – 29, март – 31. Итого ровно 91 день. То есть число 6911 декодируется как 31 марта 1796 года.

Так чем же примечательны эти даты из математического дневника?