Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Поверхностный интеграл от магнитной индукции

402. Поток магнитной индукции через поверхность S определяется как величина интеграла

𝑄

=

∬

𝔅

cos ε

𝑑𝑆

,

(9)

где 𝔅 - величина магнитной индукции на элементе поверхности 𝑑𝑆, ε - угол между направлением индукции и нормалью к элементу поверхности; интегрирование распространяется на всю поверхность, которая может быть либо замкнутой поверхностью, либо поверхностью, ограниченной некоторой замкнутой кривой.

Если обозначить составляющие магнитной индукции через 𝑎, 𝑏, 𝑐 и направляющие косинусы нормали через 𝑙, 𝑚, 𝑛, то поверхностный интеграл может быть записан в виде

𝑄

=

∬

(

𝑙𝑎

+

𝑚𝑏

+

𝑛𝑐

)

𝑑𝑆

.

(10)

Выражая составляющие магнитной индукции через составляющие намагниченности и магнитной силы, как в п. 400, получим

𝑄

=

∬

(

𝑙α

+

𝑚β

+

𝑛γ

)

𝑑𝑆

+

4π

∬

(

𝑙𝐴

+

𝑚𝐵

+

𝑛𝐶

)

𝑑𝑆

.

(11)

Предположим теперь, что поверхность, по которой производится интегрирование, замкнута, и исследуем значения величин двух членов в правой части этого уравнения.

Математическая форма связи между магнитной силой и свободным магнетизмом такая же, как между электрической силой и свободным электричеством, поэтому мы можем применить результаты п. 77 к первому члену выражения для 𝑄, заменив составляющие электрической силы 𝑋, 𝑌, 𝑍 в п. 77 на составляющие магнитной силы α, β, γ, а алгебраическую сумму свободного электричества 𝑒 на алгебраическую сумму свободного магнетизма 𝑀.

Таким образом, получаем уравнение

∬

(

𝑙α

+

𝑚β

+

𝑛γ

)

𝑑𝑆

=

4π𝑀

.

(12)

Так как каждая магнитная частица имеет два полюса одинаковой величины и противоположных знаков, алгебраическая сумма магнетизма частицы равна нулю. Поэтому частицы, которые целиком находятся внутри замкнутой поверхности 𝑆, не могут дать вклада в алгебраическую сумму магнетизма внутри 𝑆, т.е. величина 𝑀 должна зависеть только от магнитных частиц, которые рассечены поверхностью 𝑆.

Рассмотрим маленький элемент магнита длиной 𝑠 с поперечным сечением 𝑘², намагниченный в направлении его длины так, что мощность его полюсов равна 𝑚 Момент этого небольшого магнита равен 𝑚𝑠, а намагниченность, равная от ношению магнитного момента к объёму,

𝐼

=

𝑚

𝑘²

(13)

Пусть этот маленький магнит так рассечён поверхностью 𝑆, что направление намагниченности образует с наружной нормалью к поверхности угол ε', тогда, если обозначить через 𝑑𝑆 площадь сечения,

𝑘²

=

𝑑𝑆

cos ε'

.

(14)

Отрицательный полюс этого магнита -𝑚 находится внутри поверхности 𝑆.

Следовательно, если обозначить через 𝑑𝑀 вклад этого маленького магнита в ту часть свободного магнетизма, которая находится внутри 𝑆, то

𝑑𝑀

=

-𝑚

=

-𝐼𝑘²

=

-𝐼

cos ε'

𝑑𝑆

.

(15)

Для того чтобы найти алгебраическую сумму свободного магнетизма 𝑀 внутри замкнутой поверхности 𝑆, необходимо проинтегрировать это выражение по замкнутой поверхности 𝑆:

𝑀

=-

∬

𝐼

cos ε'

𝑑𝑆

,

или через составляющие намагниченности 𝐴, 𝐵, 𝐶 и направляющие косинусы наружной нормали 𝑙, 𝑚, 𝑛:

𝑀

=-

∬

(

𝑙𝐴

+

𝑚𝐵

+

𝑛𝐶

)

𝑑𝑆

.

(16)

Это даёт значение интеграла во втором члене правой части уравнения (11). Величину 𝑄 в (11) можно, таким образом, найти, используя уравнения (12) и (16):

𝑄

=

4π𝑀

-

4π𝑀

=

0,

(17)

или интеграл от магнитной индукции, взятый по произвольной замкнутой поверхности, равен нулю.

403. Если предположить, что замкнутая поверхность есть поверхность дифференциального элемента объёма 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, мы получим уравнение

𝑑𝑎

𝑑𝑥

+

𝑑𝑏

𝑑𝑦

+

𝑑𝑐

𝑑𝑧

=

0.

(18)

Это есть условие соленоидальности, которому всегда удовлетворяют составляющие магнитной индукции.

Так как распределение магнитной индукции соленоидально, то поток индукции через любую поверхность, ограниченную замкнутой кривой, зависит только от формы и положения этой замкнутой кривой и не зависит от формы и положения самой поверхности.

404. Поверхности, во всех точках которых

𝑙𝑎

+

𝑚𝑏

+

𝑛𝑐

=

0,

(19)

называются поверхностями с нулевым потоком индукции, а пересечение двух этих поверхностей называется линией индукции. Условия, при которых некоторая кривая 𝑠 может быть линией индукции, таковы:

1

𝑎

𝑑𝑥

𝑑𝑠

=

1

𝑏

𝑑𝑦

𝑑𝑠

=

1

𝑐

𝑑𝑧

𝑑𝑠

(20)

Совокупность линий индукции, проведённых через каждую точку замкнутой кривой, образует трубчатую поверхность, называемую трубкой индукции.

Поток индукции через любое сечение такой трубки одинаков. Если поток индукции в трубке равен единице, она называется единичной трубкой индукции.

Всё, что Фарадей² говорит о магнитных силовых линиях и магнитных «спондилоидах» (sphondiloids), математически верно, если под ними понимать линии и трубки магнитной индукции.

² Exp. Res., series XXVIII.

Вне магнита магнитная сила и магнитная индукция совпадают, однако внутри вещества магнита их следует тщательно различать.

В случае прямого однородно намагниченного стержня магнитная сила, создаваемая самим магнитом, направлена от конца, указывающего на север (мы называем его положительным полюсом), к южному концу (отрицательному полюсу) как внутри магнита, так и вне его.