Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

С другой стороны, магнитная индукция вне магнита тоже направлена от положительного полюса к отрицательному, но внутри магнита - от отрицательного полюса к положительному, так что линии и трубки индукции образуют сами в себя входящие, или замкнутые, кривые.

Важность магнитной индукции как физического понятия будет видна более отчётливо при изучении электромагнитных явлений. Когда магнитное поле создаётся движущимся проводом, как в опытах Фарадея (Exp. Res. 3076), непосредственно измеряемой величиной является именно магнитная индукция, а не магнитная сила.

Вектор-потенциал магнитной индукции

405. Как показано в п. 403, поток магнитной индукции через поверхность, ограниченную замкнутой кривой, зависит от этой кривой, но не зависит от формы ограничиваемой ею поверхности; поэтому должен существовать способ определения потока индукции внутри замкнутой кривой с помощью процедуры, зависящей только от характера кривой и не включающей конструкцию поверхности, которая диафрагмирует эту кривую.

Это можно сделать, отыскав вектор 𝔄, связанный с магнитной индукцией 𝔅 таким образом, чтобы линейный интеграл от 𝔄 по замкнутой кривой был равен поверхностному интегралу от по поверхности, ограниченной этой кривой.

Обозначив, как и в п. 24, через 𝐹, 𝐺, 𝐻 составляющие 𝔄, через 𝑎, 𝑏, 𝑐 составляющие 𝔅, получим между ними следующую связь:

𝑎

=

𝑑𝐻

𝑑𝑦

-

𝑑𝐺

𝑑𝑧

,

𝑏

=

𝑑𝐹

𝑑𝑧

-

𝑑𝐻

𝑑𝑥

,

𝑐

=

𝑑𝐺

𝑑𝑥

-

𝑑𝐹

𝑑𝑦

.

(21)

Вектор 𝔄 с составляющими 𝐹, 𝐺, 𝐻 называется вектор-потенциалом магнитной индукции.

Поместим в начало координат магнитную молекулу с моментом 𝑚 и направлением оси намагниченности (λ,μ,ν). Согласно п. 387, её потенциал в точке (𝑥,𝑦,𝑧), на расстоянии 𝑟 от начала координат будет равен

-𝑚

⎛

⎜

⎝

λ

𝑑

𝑑𝑥

+

μ

𝑑

𝑑𝑦

+

𝑑

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

1

𝑟

;

𝑐

=

𝑚

⎛

⎜

⎝

λ

𝑑²

𝑑𝑥𝑑𝑧

+

μ

𝑑²

𝑑𝑦𝑑𝑧

+

ν

𝑑²

𝑑𝑧²

⎞

⎟

⎠

1

𝑟

.

С помощью уравнения Лапласа последнему выражению можно придать вид

𝑚

𝑑

𝑑𝑥

⎛

⎜

⎝

λ

𝑑

𝑑𝑧

-

ν

𝑑

𝑑𝑥

⎞

⎟

⎠

1

𝑟

-

𝑚

𝑑

𝑑𝑦

⎛

⎜

⎝

ν

𝑑

𝑑𝑦

-

μ

𝑑

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

1

𝑟

.

Аналогично можно преобразовать величины 𝑎, 𝑏.

Следовательно,

𝐹

=

𝑚

⎛

⎜

⎝

ν

𝑑

𝑑𝑦

-

μ

𝑑

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

1

𝑟

=

𝑚(μ𝑧-ν𝑦)

𝑟³

.

Составляющие 𝐺, 𝐻 можно получить из этого выражения, руководствуясь симметрией. Таким образом, вектор-потенциал в данной точке, создаваемый намагниченной частицей, помещённой в начало координат, численно равен магнитному моменту этой частицы, делённому на квадрат радиус-вектора и умноженному на синус угла между осью намагниченности и радиус-вектором; направление вектор-потенциала перпендикулярно плоскости оси намагниченности и радиус-вектора, причём если смотреть в положительном направлении оси намагниченности, то вектор-потенциал указывает в направлении движения часовой стрелки.

Следовательно, для магнита произвольной формы с составляющими намагниченности 𝐴, 𝐵, 𝐶 в точке (𝑥,𝑦,𝑧) составляющие вектор-потенциала в точке (ξ,η,ζ) равны

𝐹

=

∭

⎛

⎜

⎝

𝐵

𝑑𝑝

𝑑𝑧

-

𝐶

𝑑𝑝

𝑑𝑦

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

𝐺

=

∭

⎛

⎜

⎝

𝐶

𝑑𝑝

𝑑𝑥

-

𝐴

𝑑𝑝

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

𝐻

=

∭

⎛

⎜

⎝

𝐴

𝑑𝑝

𝑑𝑦

-

𝐴

𝑑𝑝

𝑑𝑥

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

(22)

где через 𝑝 для краткости обозначено обратное расстояние между точками (ξ,η,ζ) и (𝑥,𝑦,𝑧), а интегрирование распространяется на весь объём, занятый магнитом.

406. Скалярный, или обычный, потенциал магнитной силы, введённый в п. 385, в этих обозначениях принимает вид

𝑉

=

∭

⎛

⎜

⎝

𝐴

𝑑𝑝

𝑑𝑥

+

𝐵

𝑑𝑝

𝑑𝑦

+

𝐶

𝑑𝑝

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

(23)

Помня, что

𝑑𝑝

𝑑𝑥

= -

𝑑𝑝

𝑑ξ

 и что интеграл

∭

𝐴

⎛

⎜

⎝

𝑑²𝑝

𝑑𝑥²

+

𝑑²𝑝

𝑑𝑦²

+

𝑑²𝑝

𝑑𝑧²

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

равен -4π(𝐴), когда точка (ξ,η,ζ), находится внутри объёма интегрирования, и нулю, когда она вне его, где (𝐴) - значение 𝐴 в точке (ξ,η,ζ), получаем для 𝑥-составляющей магнитной индукции

α

=

𝑑𝐻

𝑑η

-

𝑑𝐺

𝑑ζ

=

=

∭

⎧

⎨

⎩

⎛

⎜

⎝

𝐴

𝑑²𝑝

𝑑𝑦𝑑η

+

𝑑²𝑝

𝑑𝑧𝑑ζ

⎞

⎟

⎠

-

𝐵

𝑑²𝑝

𝑑𝑥𝑑η

-

𝐶

𝑑²𝑝

𝑑𝑥𝑑ζ

⎫

⎬

⎭

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

=

=-

𝑑

𝑑ξ

∭

⎧

⎨

⎩

𝐴

𝑑𝑝

𝑑𝑥

+

𝐵

𝑑𝑝

𝑑𝑦

+

𝐶

𝑑𝑝

𝑑𝑧

⎫

⎬

⎭

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

-

-

∭

𝐴

⎛

⎜

⎝

𝑑²𝑝

𝑑𝑥²

+

𝑑²𝑝

𝑑𝑦²

+

𝑑²𝑝

𝑑𝑧²

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

(24)

Первый член этого выражения равен, очевидно, -𝑑𝑉/𝑑ξ или составляющей магнитной силы α.

Величина же, стоящая под знаком интеграла во втором члене, равна нулю для любого элемента объёма, кроме того, в котором находится точка (ξ,η,ζ). Легко показать, что второй член равен 4π(𝐴), где (𝐴) - значение 𝐴 в точке (ξ,η,ζ); во всех точках вне магнита величина (𝐴) равна нулю.

Теперь можно 𝑥-составляющую магнитной индукции записать в виде

𝑎

=

α

+

4π(𝐴)

,

(25)

что равнозначно первому из уравнений, приведённых в п. 400; уравнения для 𝑏 и 𝑐 также совпадают с соответствующими уравнениями п. 400.

Как мы уже видели, магнитная сила вычисляется через скалярный потенциал 𝑉 путём применения к нему оператора Гамильтона ∇; следуя п. 17, можно записать

ℌ

=-

∇𝑉

,

(26)

это уравнение справедливо как вне, так и внутри магнита.

Из проведённых сейчас исследований явствует, что магнитная индукция вычисляется через вектор-потенциал 𝔄 путём применения к нему того же самого оператора; и этот результат справедлив внутри магнита так же, как вне его.

Применение этого оператора к векторной функции может дать в общем случае и скалярную и векторную величину. Однако скалярная часть, названная нами конвергенцией векторной функции, исчезает, если векторная функция удовлетворяет условию соленоидальности

𝑑𝐹

𝑑ξ

+

𝑑𝐺

𝑑η

+

𝑑𝐻

𝑑ζ

=

0.

(27)

Дифференцируя выражения (22) для 𝐹, 𝐺, 𝐻, убеждаемся, что эти величины удовлетворяют условию соленоидальности.

Таким образом, мы можем записать между магнитной индукцией и её вектор-потенциалом:

𝔅

=