Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

𝑟 - расстояние до точки (ξ,η,ζ) от начала координат,

𝑉

₁

=

ξ𝑥+η𝑦+ζ𝑧

𝑟³

,

(4)

𝑉

₂

=

3(ξ𝑥+η𝑦+ζ𝑧)-(𝑥²+𝑦²+𝑧²)(ξ²+η²+ζ²)

2𝑟⁵

,

(5)

и т.д.

Для того чтобы определить величину потенциальной энергии магнита, помещённого в поле силы, определяемой этим потенциалом, необходимо проинтегрировать выражение для 𝑊 в уравнении (3) п. 389 по 𝑥, 𝑦 и 𝑧, считая ξ, η, ζ и 𝑟 постоянными.

Если рассмотреть только члены, представляемые гармониками 𝑉₀, 𝑉₁ и 𝑉₂, то результат будет зависеть от следующих объёмных интегралов:

𝑙𝐾

=

∭

𝐴

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

𝑚𝐾

=

∭

𝐵

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

𝑚𝐾

=

∭

𝐶

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

;

(6)

𝐿

=

∭

𝐴𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

𝑀

=

∭

𝐵𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

𝑁

=

∭

𝐶𝑧

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

;

(7)

𝑃

=

∭

(𝐵𝑧+𝐶𝑦)

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

𝑄

=

∭

(𝐶𝑥+𝐴𝑧)

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

𝑅

=

∭

(𝐴𝑦+𝐵𝑥)

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

(8)

Таким образом, для величины потенциальной энергии магнита в присутствии единичного полюса, находящегося в точке (ξ,η,ζ), находим

𝑊

=

𝐾

𝑙ξ+𝑚η+𝑛ζ

𝑟³

+

ξ²(2𝐿-𝑀-𝑁)+η²(2𝑀-𝑁-𝐿)

𝑟⁵

+

+

3(𝑃ηζ+𝑄ζξ+𝑅ξη)

𝑟⁵

+ и т.д.

(9)

Это выражение можно также рассматривать как потенциальную энергию единичного полюса в присутствии магнита или просто как создаваемый магнитом потенциал в точке (ξ,η,ζ).

О центре магнита и о главной и побочных осях магнита

392. Это выражение можно упростить, изменив направление координатных осей и положение начала координат. Прежде всего направим ось 𝑥 параллельно оси магнита. Это эквивалентно тому, что

𝑙

=

1,

𝑚

=

0,

𝑛

=

0.

(10)

Если перенести начало координат в точку (𝑥',𝑦',𝑧'), сохранив направление осей, то объёмные интегралы 𝑙𝐾, 𝑚𝐾 и 𝑛𝐾 останутся неизменными, а остальные изменятся следующим образом:

𝐿'

=

𝐿

-

𝑙𝐾𝑥'

,

𝑀'

=

𝑀

-

𝑚𝐾𝑦'

,

𝑁'

=

𝑁

-

𝑛𝐾𝑧'

(11)

𝑃'

=

𝑃

-

𝐾(𝑚𝑧'+𝑛𝑦')

,

𝑄'

=

𝑄

-

𝐾(𝑛𝑥'+𝑙𝑧')

,

𝑅'

=

𝑅

-

𝐾(𝑙𝑦'+𝑚𝑥')

.

(12)

Если сделать направление оси 𝑥 параллельным оси магнита и положить

𝑥'

=

2𝐿-𝑀-𝑁

2𝐾

,

𝑦'

=

𝑅

𝐾

,

𝑧'

=

𝑄

𝐾

,

(13)

то для новых осей значения 𝑀 и 𝑁 останутся прежними, а значение 𝐿' окажется равным (𝑀+𝑁)/2; не изменится также и величина 𝑃, в то время как 𝑄 и 𝑅 обратятся в нуль. Следовательно, мы можем для потенциала записать

𝐾

ξ

𝑟³

+

3/2⋅(η²-ζ²)(𝑀-𝑁)+3𝑃ηζ

𝑟⁵

+ ….

(14)

Мы нашли, следовательно, фиксированную относительно магнита точку, такую, что если её выбрать в качестве начала координат, второй член в разложении потенциала выразится в наиболее простой форме; поэтому эту точку можно определить как центр магнита, а проведённую через неё ось в направлении, ранее названном направлением магнитной оси, определить как главную ось магнита.

Мы можем упростить результат ещё больше, повернув оси 𝑦 и 𝑧 вокруг оси 𝑥 на половину угла, тангенс которого равен 𝑃/(𝑀-𝑁). Тогда 𝑃 станет равным нулю, и окончательное выражение для потенциала примет вид

𝐾

ξ

𝑟³

+

3

2

(η²-ζ²)(𝑀-𝑁)

𝑟⁵

+ и т.д.

(15)

Это есть простейшая форма представления первых двух членов потенциала магнита. Оси 𝑦 и 𝑧, направленные таким образом, могут быть названы побочными осями магнита.

Центр магнита мы можем определить и иначе, отыскав такое положение начала координат, при котором поверхностный интеграл от квадрата второго члена в разложении потенциала, взятый по сфере единичного радиуса, минимален.

Величина, которую следует сделать минимальной, согласно п. 141 равна

4(𝐿²+𝑀²+𝑁²-𝑀𝑁-𝑁𝐿-𝐿𝑀)

+

3(𝑃²+𝑄²+𝑅²)

.

(16)

Изменения значений этой величины, вызванные изменением положения начала координат, можно вывести из уравнений (11) и (12). Условия минимума следующие:

2𝑙(2𝐿-𝑀-𝑁)

+

3𝑛𝑄

+

3𝑚𝑅

=

0,

2𝑚(2𝑀-𝑁-𝐿)

+

3𝑙𝑅

+

3𝑛𝑃

=

0,

2𝑛(2𝑁-𝐿-𝑀)

+

3𝑚𝑃

+

3𝑙𝑄

=

0.

(17)

Если положить 𝑙=1, 𝑚=0, 𝑛=0, то эти условия станут такими:

2𝐿-𝑀-𝑁

=

0,

𝑄

=

0,

𝑅

=

0,

(18)

т.е. они совпадут с условиями, использованными в предыдущем рассмотрении.

Это исследование можно сравнить с тем, которое проводится при разложении потенциала системы, состоящей из гравитирующей материи. Там наиболее удобной точкой при выборе начала координат является центр тяжести системы, а наиболее удобными осями - проходящие через эту точку главные оси инерции.

В случае магнита точка, соответствующая центру тяжести, бесконечно удалена в направлении оси, и то, что мы назвали центром магнита, по своим свойствам отличается от центра тяжести. Величины 𝐿, 𝑀, 𝑁 соответствуют моментам инерции, а 𝑃, 𝑄, 𝑅 - произведениям инерции материального тела с той разницей, что 𝐿, 𝑀, 𝑁 не должны быть обязательно положительными.

Когда центр магнита взят в качестве начала координат, то сферическая гармоника второго порядка становится секторной,а её ось совпадает с осью магнита; ни для какой другой точки это не справедливо.

Когда магнит, как в случае тела вращения, симметричен по всем направлениям относительно этой оси, что член, содержащий гармонику второго порядка, полностью исчезает.