Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

𝑑𝑝

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑆

-

-

∭

φ

⎛

⎜

⎝

𝑑²𝑝

𝑑𝑥²

+

𝑑²𝑝

𝑑𝑦²

+

𝑑²𝑝

𝑑𝑧²

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

Второй член равен нулю, если точка (ξ,η,ζ) не принадлежит магниту, в противном случае он равен 4πφ, где φ - значение φ в точке (ξ,η,ζ). Поверхностный интеграл можно выразить через величину 𝑟, равную длине отрезка между точками (𝑥,𝑦,𝑧) и (ξ,η,ζ), и через угол θ, который этот отрезок образует с внешней нормалью к элементу поверхности 𝑑𝑆, так что потенциал можно записать в виде

𝑉

=

∬

1

𝑟²

φ

cos θ

𝑑𝑆

+

4π(φ)

,

где второй член, конечно, равен нулю, если точка (ξ,η,ζ), не принадлежит веществу магнита.

Потенциал 𝑉, выражаемый этим уравнением, непрерывен даже на поверхности магнита, где значение φ скачком обращается в нуль, потому что, если записать

Ω

=

∬

1

𝑟²

φ

cos θ

𝑑𝑆

,

и обозначить через Ω₁ значение Ω в точке, непосредственно находящейся на поверхности, а Ω₂ - значение Ω в точке, близкой к первой, но вне поверхности, то

Ω

₂

=

Ω

₁

+

4π(φ)

,

или

𝑉

₂

=

𝑉

₁

.

Величина ω не является непрерывной на поверхности магнита.

Составляющие магнитной индукции связаны с Ω уравнениями

𝑎

=

-

𝑑Ω

𝑑𝑥

,

𝑏

=

-

𝑑Ω

𝑑𝑦

,

𝑐

=

-

𝑑Ω

𝑑𝑧

.

416. В случае ламеллярного распределения магнетизма мы можем упростить также и вектор-потенциал магнитной индукции.

Его 𝑥-составляющую можно записать:

𝐹

=

∭

⎛

⎜

⎝

𝑑φ

𝑑𝑦

𝑑𝑝

𝑑𝑧

-

𝑑φ

𝑑𝑧

𝑑𝑝

𝑑𝑦

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

Интегрируя по частям, мы можем представить это в виде поверхностного интеграла:

𝐹

=

∬

φ

⎛

⎜

⎝

𝑚

𝑑𝑝

𝑑𝑧

-

𝑛

𝑑𝑝

𝑑𝑦

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑆

,

или

𝐹

=

-

∬

𝑝

⎛

⎜

⎝

𝑚

𝑑φ

𝑑𝑧

-

𝑛

𝑑φ

𝑑𝑦

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑆

.

Остальные составляющие вектор-потенциала можно получить, сделав соответствующие замены в этих выражениях.

О телесных углах

417. Мы уже доказали, что потенциал, создаваемый магнитной оболочкой в произвольной точке 𝑃, равен мощности оболочки, умноженной на телесный угол, опирающийся на её край. Поскольку нам придётся ещё раз обратиться к телесным углам в теории электрических токов, мы сейчас объясним, как их можно измерять.

Определение. Телесный угол с вершиной в данной точке, опирающийся на замкнутую кривую, измеряется площадью сферической поверхности единичного радиуса с центром в данной точке, границей которой служит след пересечения сферы с радиус-вектором при его движении по замкнутой кривой. Эта площадь должна считаться положительной или отрицательной в соответствии с тем, лежит ли она по левую или по правую сторону относительно движения радиус-вектора, видимого из данной точки.

Обозначим заданную точку через (ξ,η,ζ) а точку на замкнутой кривой через (𝑥,𝑦,𝑧). Координаты 𝑥, 𝑦, 𝑧 являются функциями длины кривой 𝑠, отсчитываемой от некоторой точки, причём периодическими функциями 𝑠, восстанавливающими свои значения при увеличении 𝑠 на полную длину замкнутой кривой.

Мы можем вычислить телесный угол непосредственно из его определения следующим образом. Используя сферические координаты с центром в (ξ,η,ζ) и полагая

𝑥-ξ

=

𝑟

sin θ

cos φ

,

𝑦-η

=

𝑟

sin θ

sin φ

,

𝑧-ζ

=

𝑟

cos θ

,

найдём путём интегрирования площадь внутри произвольной кривой на сфере:

ω

=

∫

(1-cos θ)

𝑑φ

,

или в прямоугольных координатах

ω

=

∫

𝑑φ

-

𝑠

∫

0

𝑧-ξ

𝑟{(𝑥-ξ)²+(𝑦-η)²}

⎡

⎢

⎣

(𝑥-ξ)

𝑑𝑦

𝑑𝑠

-

(𝑦-η)

𝑑𝑥

𝑑𝑠

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑠

,

где интегрирование производится по замкнутой кривой 𝑠.

Если ось 𝑧 проходит один раз сквозь замкнутую кривую, то первый член равен 2π. Если же ось 𝑧 не проходит сквозь неё, первый член равен нулю.

418. Этот метод вычисления телесного угла содержит произвольный до некоторой степени выбор оси и не зависит только лишь от вида замкнутой кривой. Поэтому для геометрической строгости уместно предложить следующий метод, в котором не предусматривается построение никаких поверхностей. Пусть по мере того как радиус-вектор, выходящий из данной точки, описывает замкнутую кривую, плоскость, проходящая через эту точку, катится по замкнутой кривой таким образом, что последовательно становится касательной плоскостью в каждой точке кривой. Проведём из данной точки перпендикулярно этой плоскости отрезок единичной длины. При качении плоскости по замкнутой кривой конец перпендикуляра описывает вторую замкнутую кривую, полярную по отношению к первой. Пусть её длина равна σ, тогда телесный угол, опирающийся на первую кривую, будет равен ω=2π-σ.

Это следует из хорошо известной теоремы о том, что площадь, ограниченная замкнутой кривой на сфере единичного радиуса, вместе с периметром полярной кривой численно равны длине большой окружности сферы.

Такое построение удобно иногда для вычисления телесного угла, опирающегося на контур, составленный из отрезков прямых. Для нашей цели, которая состоит в формировании ясных представлений о физических явлениях, более предпочтителен метод, излагаемый далее, поскольку в нём не используется никаких построений, не вытекающих непосредственно из физических данных о проблеме.

419. Замкнутая кривая 𝑠 задана в пространстве, и мы должны найти телесный угол с вершиной в точке 𝑃, опирающийся на 𝑠.