Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Для замкнутых «истинных» токов (под «истинным» током понимается сумма токов проводимости и смещения) можно описать электрическое поле уравнением

rot 𝐄

=-

1

𝑐

∂𝐁

∂𝑡

,

которое вместе с уравнением

rot 𝐇

=

4π

𝑐

𝗷

_ист

,

материальными связями

𝐁

=

μ𝐇

 и

𝗷

_ист

=

⎛

⎜

⎝

σ

+

ε

4π

𝑑

𝑑𝑡

⎞

⎟

⎠

и граничными условиями полностью определяет «состояние электромагнитного поля».

604. Максвелл считает, что сила со стороны магнитного поля действует на «истинный» ток, складывающийся из тока проводимости и тока смещения. Подробное разъяснение по этому вопросу приведено в послесловии.

631. При выводе выражения (5) для энергии электрического поля Максвелл исходит из соответствующих представлений в электростатике, где электрическая напряжённость потенциальна. Однако, как известно, этот результат сохраняется и для переменных вихревых полей. В этом месте в 3-м издании есть замечание Д. Д. Томсона, аргументирующее справедливость такого обобщения. Оно опущено нами, поскольку окончательное установление выражения для энергии опирается на закон сохранения её (теорему Пойнтинга), т.е. в известной мере содержит элемент постулирования.

632. Приводим комментарий проф. Нивена, извлечённый им из письма Максвелла профессору Кристалу (Chrystal). «В п. 389 энергия, обусловленная магнитом, имеющим составляющие намагниченности 𝐴₁, 𝐵₁, 𝐶₁ и помещённым в магнитное поле с составляющими магнитной силы α₂, β₂, γ₂, принята равной

-

∭

(

𝐴₁α₂

+

𝐵₁β₂

+

𝐶₁γ₂

)

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

где интегрирование ограничено областью магнита в предположении, что 𝐴₁, 𝐵₁, 𝐶₁ обращаются в нуль всюду вне её.

Однако полная энергия записывается в виде

-

1

2

∭

{

(𝐴₁+𝐴₂)

(α₁+α₂)

+…

}

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

причём интегрирование распространяется на все части пространства, где находятся намагниченные тела, и 𝐴₂, 𝐵₂, 𝐶₂ обозначают составляющие намагниченности в произвольной точке вне магнита.

Таким образом, полная энергия состоит из четырёх частей:

-

1

2

∭

(𝐴₁α₁+…)

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

(1)

эта часть постоянна, если намагниченность магнита неизменна;

-

1

2

∭

(𝐴₂α₁+…)

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

(2)

эта часть, согласно теореме Грина, равна

-

1

2

∭

(𝐴₁α₂+…)

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

(3)

и

-

1

2

∭

(𝐴₂α₂+…)

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

(4)

Последнюю часть мы также можем считать возникающей от жёсткой намагниченности и поэтому предполагать постоянной.

Следовательно, изменяемая часть энергии перемещаемого магнита с жёсткой намагниченностью является суммой выражений (2) и (3), а именно

-

1

2

∭

(

𝐴₁α₂

+

𝐵₁β₂

+

𝐶₁γ₂

)

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

Помня, что смещение магнита изменяет значения α₂, β₂, γ₂, но не изменяет 𝐴₁, 𝐵₁, 𝐶₁, для составляющих силы, действующей на магнит в произвольном направлении φ, найдём

∭

⎛

⎜

⎝

𝐴₁

𝑑α₂

𝑑φ

+

𝐵₁

𝑑β₂

𝑑φ

+

𝐶₁

𝑑γ₂

𝑑φ

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

Если же вместо магнита мы имеем тело, намагниченное через индукцию, выражение для силы должно быть таким же; поэтому, подставляя 𝐴₁=𝓀α,…, получим

∭

𝓀

⎛

⎜

⎝

α

𝑑α₂

𝑑φ

+

β

𝑑β₂

𝑑φ

+

γ

𝑑γ₂

𝑑φ

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

В этом выражении нужно положить α=α₁,α₂,…, но, если намагниченное тело мало или мала величина 𝓀, мы можем пренебречь α₁ по сравнению с α₂ и получить выражение для силы, совпадающее с приведённым в п. 440:

𝑑

𝑑φ

1

2

∭

𝓀

(

α²

+

β²

+

γ²

)

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

Работа, совершаемая магнитными силами при уносе тела в бесконечность в случае, когда оно обладает небольшой индуктивной способностью и является намагниченным по индукции, равна только половине работы в случае такого же тела с такой же, но заданной жёсткой намагниченностью, поскольку индуцированный магнит теряет свою намагниченность по мере уноса его в бесконечность».

659. Со ссылкой на статью Максвелла (Royal Soc. Proc., XX, p. 160-168, см. также The Scientific Papers of J. C. Maxwell, vol. II, art. XLIX, p. 294) Нивен поясняет, что любое другое решение задачи отличается от приведённого в тексте системой замкнутых токов, зависящей от начальных условий, а не от каких-то внешних причин. Эта система токов быстро затухает; поэтому, если постулировать достаточную удалённость в прошлое начальных условий, приведённое в тексте решение будет единственным.

685. Как заметил Д. Д. Томсон, соотношения (22), (23) строго верны только в случае μ=μ'=μ₀. в противном случае надо учитывать искажения, вносимые в поле неоднородностями μ.

696. Как указал Д. Д. Томсон, это легко доказывается, если зональную гармонику 𝑃_𝑖(ω) в выражении (6) для ω₁ представить в виде суммы ряда по зональным и тессеральным гармоникам относительно оси 𝐶_𝑎, при этом следует воспользоваться формулой

μ

=

1

∫

μ₂

𝑑ω₁

𝑑𝑟

2π𝑐₂²

𝑑μ²

.

711. Д. Д. Томсон отмечает, что в поправочном множителе вместо численного коэффициента 3/2 необходимо использовать 3/4.

755. В конце п. 755 помещено следующее дополнение профессора Нивена:

«Приведённые далее исследования заимствованы из записей лекций Профессора Клерка Максвелла, сделанных господином Флемингом; они грустны тем, что составляют часть последней лекции, прочитанной Профессором. В записях г-на Флеминга схема эксперимента отличается от той, которая приведена в тексте книги,- там батарея и гальванометр поменяны местами».

«Выражение (8) может быть доказано следующим образом: обозначим через 𝐿₁, 𝐿₂, 𝑁 и Γ соответственно коэффициенты самоиндукции катушек 𝐴, 𝐵, 𝑎𝑏 и гальванометра. Тогда кинетическая энергия системы 𝑇 будет приближённо равна

1

2

𝐿₁𝑥̇²

+

1

2

𝐿₂𝑦̇²

+

1

2