Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Представленная Максвеллом итоговая система уравнений (а в ней присутствовали уравнения и для полей, и для потенциалов, и материальные связи, и выражения для сил) была внутренне непротиворечива, так что решение вопроса об излишествах действительно отступало пока на второй план: всё это уладилось позже при формулировке и доказательстве теорем единственности (и существования, конечно). Первостепеннее стояла проблема полноты и замкнутости (и достоверности, конечно). По этому поводу Максвелл не позволил себе высказывать какие-либо общие сентенции, но привёл несколько простейших решений для предъявления экспериментаторам. Как мы знаем, все контрольные эффекты, предложенные самим Максвеллом (а также несколькими поколениями исследователей позже), прошли обоснованную экспериментальную экспертизу, в том смысле, что были подтверждены в пределах точности, с которой макроскопическая электродинамика оказалась вообще справедливой.

Далее мы проведём сопоставление сводных уравнений электродинамики, содержащихся в «Трактате», с уравнениями Максвелла в их современном представлении. Для этого воспроизведём формульную часть п. 618 (этот параграф имеет название «Кватернионные выражения для электромагнитных уравнений») и рядом с каждой трактатной формой поместим соответствующее ей выражение в обозначениях, принятых теперь с использованием гауссовой системы единиц ¹⁰.

¹⁰ В «Трактате» сводные уравнения помечены не цифрами, а прописными буквами латинского алфавита и тем выделены от рядовых формул. Правда, три уравнения вообще никак ие означены: для них мы ввели малые греческие буквы (α), (β), (γ).

Уравнение для магнитной индукции

𝕭

=

𝑉⋅∇𝕬

,

𝐁=∇×𝐀

=

rot 𝐀

,

(A)

𝐁 - магнитная индукция, 𝐀 - вектор-потенциал (электрический)

Уравнения для электродвижущей напряжённости

𝔈

=

𝑉⋅𝔊𝔅

-

𝔄̇

-

∇Ψ

,

𝐄

=

1

𝑐

𝐮×𝐁

-

1

𝑐

∂𝐀

∂𝑡

-

∇ψ

(B)

𝐄 - напряжённость электрического поля, φ - скалярный потенциал (электрический), 𝐮 - скорость контура или системы отсчёта, 𝑐 - скорость света в вакууме.

Уравнение для механической силы

𝔉

=

𝑉⋅ℭ𝔅

+

𝑒𝔈

-

𝑚∇

Ω

,

𝐟

=

1

𝑐

𝐣

^𝑒

_пол

×𝐁

+

ρ

^𝑒

𝐄

-

ρ

^𝑚

∇Ψ

,

(C)

𝐟 - объёмная плотность силы, 𝐣^𝑒_пол=𝐣^𝑒_пр+𝐣^𝑒_см - плотность полного (истинного электрического тока, 𝐣^𝑒_пр - плотность тока проводимости, 𝐣^𝑒_см - плотность тока смещения, ρ^𝑒 - плотность электрического заряда, ρ^𝑚 - плотность магнитного заряда, Ψ - скалярный потенциал (магнитный).

Уравнение для намагничения

𝔅

=

ℌ

+

4π𝔍

,

𝐁

=

𝐇

+

4π𝐌

,

(D)

𝐁 - магнитная индукция, 𝐇 - напряжённость магнитного поля, 𝐌 - вектор намагничения.

Уравнение для электрических токов

4πℭ

=

𝑉⋅∇ℌ

,

4π

𝑐

𝐣

^𝑒

_пол

×𝐁

=

∇×𝐇

=

rot 𝐇

.

(E)

Уравнение для токов проводимости

𝔎

=

𝑐𝔈

,

𝐣

^𝑒

_пр

×𝐁

=

σ𝐄

,

(G)

σ - проводимость среды.

Уравнение для электрического смещения

𝔇

=

1

4π

𝓀𝔈

,

𝐃

=

ε𝐄

,

(α)

ε диэлектрическая проницаемость.

Уравнение для истинного тока

ℭ

=

𝔎+𝔇

=

⎛

⎜

⎝

𝑐

+

1

4π

𝓀

⎞

⎟

⎠

𝔈

,

𝐣

^𝑒

_пол

×𝐁

=

𝐣

^𝑒

_пр

×𝐁

+

𝐣

^𝑒

_см

×𝐁

=

⎛

⎜

⎝

σ

+

ε

4π

∂

∂𝑡

⎞

⎟

⎠

𝐄

.

(H),(I)

Уравнение для электрической объёмной плотности

𝔢

=

𝑆⋅∇𝔇

,

4πρ

^𝑒

=

∇⋅𝐃

=

div 𝐃

.

(J)

Уравнение для электрической поверхностной плотности ρ^𝑒_пов

4πρ

^𝑒

_пов

=

𝐧₁₂

×

(𝐃₂-𝐃₁)

,

(K)

𝐧₁₂ - нормаль к поверхности из среды 1 в среду 2.

Уравнение для намагничения

𝔅

=

μℌ

,

𝐁

=

μ𝐇

,

(L)

μ - магнитная проницаемость.

Уравнение для магнитной плотности

𝔪

=

𝑆⋅∇𝔍

ρ

^𝑚

=

-div 𝐌

=

-∇⋅𝐌

.

(β)

Уравнение для магнитной силы (когда rot 𝐇=0)

ℌ

=

-∇

Ω

,

𝐇

=

-∇Ψ

.

(γ)

Итак, перед нами совокупность сводных уравнений (А) - (γ), и мы в состоянии оценить их совершенство и правильность с позиций нашего понимания. Вообще говоря, она отличается от системы, впоследствии канонизированной как система уравнений Максвелла. Но за малыми исключениями отличия скорее методические, а не принципиальные. Прежде всего совокупность (А) - (γ) по-другому организована; и в этом, и в некоторых её деталях ещё проглядываются следы моделей, принимавших участие в процессе поиска. Это те самые строительные леса, отмеченные ранее Максвеллом - с признательностью за оставление их - в трудах Фарадея, и выходит, что не по недосмотру сохранённые теперь им самим. Кроме того, при перегруженности системы (А) - (γ) в ней есть известная незавершённость: в частности, не проведено несколько «напрашивающихся» обобщений, даже из числа уже подготовленных и обсуждённых в тексте. И мы обязаны Дж. Дж. Томсону, Г. Герцу, О. Хевисайду и X. Лоренцу тем, что именно они оказались доброжелательно вдумчивыми последователями, сумевшими первыми осознать непреходящее значение этих уравнений и довести их до того общего по смыслу и изящного по форме состояния, которое в наше время принимается за образец физической теории.