Трактат об электричестве и магнетизме

Если 𝐸 - полная электродвижущая сила, a 𝑅 - полное сопротивление всей системы, мы должны иметь по закону Ома

𝐸

=

𝐶𝑅

.

(3)

Но

𝐸

=

𝐶𝑅

₁₂

+

𝐶𝑅

₂₃

+

𝐶𝑅

₃₄

+ и т.д.

(4)

- сумма отдельных электродвижущих сил, равная 𝐶(𝑅₁₂+𝑅₂₃

+𝑅₃₄+ и т. д.), согласно уравнениям (2). Сравнивая этот результат с (3), находим

𝑅

=

𝑅

₁₂

+

𝑅

₂₃

+

𝑅

₃₄

+ и т.д.

(5)

Или: сопротивление последовательно соединённых проводников равно сумме сопротивлений этих проводников, взятых в отдельности.

Потенциал в любой точке последовательного соединения

Пусть 𝐴 и 𝐶 - электроды последовательного соединения, 𝐵 - точка между ними, 𝑎, 𝑐 и 𝑏 - потенциалы этих точек соответственно. Обозначим, далее, через 𝑅₁ сопротивление той части цепи, которая заключена между точками 𝐴 и 𝐵, через 𝑅₂ - сопротивление цепи между точками 𝐵 и 𝐶, через 𝑅 - сопротивление всей цепи от 𝐴 до 𝐶 Тогда, поскольку 𝑎-𝑏=𝑅₁𝐶, 𝑏-𝑐=𝑅₂𝐶 и 𝑎-𝑐=𝑅𝐶, потенциал в точке 𝐵 равен

𝑏

=

𝑅₂𝑎+𝑅₁

𝑐

𝑅

,

(6)

что и определяет потенциал в точке 𝐵, если потенциалы в точках 𝐴 и 𝐶 заданы.

Сопротивление многократного проводника

276. Пусть некоторое число проводников 𝐴𝐵𝑍, 𝐴𝐶𝑍, 𝐴𝐷𝑍 и т.д. расположены рядом друг с другом и их концы находятся в контакте в одних и тех же двух точках 𝐴 и 𝑍. Тогда говорят, что они образуют многократное (параллельное) соединение (multiple arc).

Пусть сопротивления этих проводников равны соответственно 𝑅₁, 𝑅₂, 𝑅₃, а токи - 𝐶₁ 𝐶₂, 𝐶₃ и пусть сопротивление многократного проводника равно 𝑅 а полный ток через него равен 𝐶. Поскольку потенциалы в точках 𝐴 и 𝑍 имеют одно и то же значение для всех проводников, они имеют одинаковую разность потенциалов, которую мы обозначим через 𝐸. Тогда

𝐸

=

𝐶

₁

𝑅

₁

=

𝐶

₂

𝑅

₂

=

𝐶

₃

𝑅

₃

=

𝐶𝑅

; но

𝐶

=

𝐶

₁

+

𝐶

₂

+

𝐶

₃

, откуда

1

𝑅

=

1

𝑅₁

+

1

𝑅₂

+

1

𝑅₃

.

(7)

Или: обратное сопротивление многократного проводника есть сумма обратных сопротивлений составляющих его проводников.

Если величину, обратную сопротивлению проводника, назвать проводимостью проводника, то можно сказать, что проводимость многократного проводника есть сумма проводимостей составляющих его проводников.

Ток в любой ветви многократного проводника

Из уравнений предыдущего параграфа следует, что если ток в какой-нибудь ветви многократного проводника равен 𝐶₁ а сопротивление этой ветви равно 𝑅₁, то

𝐶

₁

=

𝐶

𝑅

𝑅₁

,

(8)

где 𝐶 - полный ток, a 𝑅 - определённое выше сопротивление многократного проводника

Продольное сопротивление проводников постоянного сечения

277. Пусть ρ - сопротивление куба единичной длины, сделанного из данного материала, по отношению к току, текущему параллельно одному из рёбер. Тогда ρ называется удельным сопротивлением данного материала на единицу объёма.

Рассмотрим теперь проводник, сделанный из того же материала и имеющий форму призмы, длина которой равна 𝑙, а площадь поперечного сечения равна единице. Такой проводник эквивалентен 𝑙 кубам, расположенным последовательно. Его сопротивление поэтому равно 𝑙ρ.

Наконец, рассмотрим проводник длины 𝑙 имеющий постоянное поперечное сечение 𝑠. Он эквивалентен 𝑠 проводникам, подобным рассмотренному ранее и образующих многократное (параллельное) соединение. Поэтому сопротивление такого проводника равно 𝑅=𝑙ρ/𝑠 Если мы знаем сопротивление однородного провода, мы можем определить удельное сопротивление материала, из которого он изготовлен, если мы можем измерить его длину и сечение.

Площадь поперечного сечения тонких проволочек точнее всего определяется путём вычисления по длине, весу и удельному весу образца. Определение удельного веса иногда оказывается неудобным, и в таких случаях используется сопротивление проволоки единичной длины и единичной массы, называемое удельным сопротивлением на единицу веса.

Если 𝑟 - удельное сопротивление на единицу веса, 𝑙 - длина и 𝑚 - масса проволоки, то 𝑅=𝑙²𝑟/𝑚.

О размерностях величин, входящих в эти уравнения

278. Сопротивление проводника равно отношению действующей на проводник электродвижущей силы к производимому ею току. Проводимость проводника есть величина, обратная сопротивлению, или, другими словами, отношение тока к создающей этот ток электродвижущей силе.