Трактат об электричестве и магнетизме

_(𝑛-1)1

,

𝐾

_(𝑛-1)2

,

…,

𝐾

_{(𝑛-1)(𝑛-1)}

,

(9)

а через 𝐷_𝑝𝑞 - минор элемента 𝐾_𝑝𝑞, мы получим для величины 𝑃_𝑝-𝑃_𝑛 выражение

(𝑃

_𝑝

-𝑃

_𝑛

)𝐷

=

(𝐾

₁₂

𝐸

₁₂

+ и т.д. -𝑄

₁

)𝐷

_𝑝1

+

+

(𝐾

₂₁

𝐸

₂₁

+ и т.д. -𝑄

₂

)𝐷

_𝑝2

+ и т.д. +

+

(𝐾

_𝑞1

𝐸

_𝑞1

+ и т.д. +𝐾

_𝑞𝑛

𝐸

_𝑞𝑛

-𝑄

_𝑞

)𝐷

_𝑝𝑞

+ и т.д.

(10)

Тем же путём можно определить превышение потенциала любой другой точки, скажем 𝐴_𝑞, над потенциалом точки 𝐴_𝑛. После этого мы можем определить ток между точками 𝐴_𝑝 и 𝐴_𝑞 из уравнения (1) и тем самым полностью решить задачу.

281. Теперь мы продемонстрируем свойство взаимности любых двух проводников, входящих в систему, что соответствует уже рассмотренному в п. 86 свойству взаимности для статического электричества.

В выражении для потенциала 𝑃_𝑝 коэффициент при 𝑄_𝑞 равен -𝐷_𝑝𝑞/𝐷. В выражении для 𝑃_𝑞 коэффициент при 𝑄_𝑝 равен -𝐷_𝑞𝑝/𝐷.

Но величина 𝐷_𝑝𝑞

отличается от 𝐷_𝑞𝑝 только заменой символов, при которой все 𝐾_𝑞𝑝 переходят в 𝐾_𝑝𝑞. Как следует из соотношения (2), эти две последние величины равны друг другу, поскольку проводимость проводника одна и та же для обоих направлений. Поэтому

𝐷

_𝑝𝑞

=

𝐷

_𝑞𝑝

.

(11)

Отсюда следует, что та часть потенциала в точке 𝐴_𝑝 которая обусловлена введением единичного тока в точку 𝐴_𝑞, равна той части потенциала в точке 𝐴_𝑞, которая обусловлена введением одиночного тока в точку 𝐴_𝑝.

Отсюда можно вывести некоторое предложение более практического вида.

Пусть 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 - любые четыре точки системы, и пусть ток 𝑄 входит в систему через точку 𝐴 и выходит через точку 𝐵, создавая превышение потенциала в точке 𝐶 над потенциалом в точке 𝐷 на величину 𝑃. Тогда, если сделать так, что такой же по величине ток 𝑄 будет входить в систему через точку 𝐶 и выходить через точку 𝐷, то потенциал в точке 𝐴 будет превышать потенциал в точке 𝐵 на ту же самую величину 𝑃.

Если ввести электродвижущую силу 𝐸, действующую на проводник от 𝐴 к 𝐵, и если эта электродвижущая сила вызывает ток 𝐶 от 𝑋 к 𝑌, то та же самая электродвижущая сила 𝐸, введённая в проводник в направлении от 𝑋 к 𝑌, вызовет точно такой же ток 𝐶 от 𝐴 к 𝐵.

Источником электродвижущей силы 𝐸 может быть вольтова батарея, введённая между названными точками, следует только позаботиться о том, чтобы после подключения батареи сопротивление проводника не изменилось.

282 а. Если электродвижущая сила 𝐸_𝑝𝑞 действует вдоль проводника 𝐴_𝑝𝐴_𝑞, легко найти ток, возникающий при этом в другом проводнике системы 𝐴_𝑝𝐴_𝑠:

𝐾

_𝑟𝑠

𝐾

_𝑝𝑞

𝐸

_𝑟𝑠

(

𝐷

_𝑟𝑝

+

𝐷

_𝑠𝑞

-

𝐷

_𝑟𝑝

-

𝐷

_𝑠𝑝

)/

𝐷

.

Ток равен нулю, если

𝐷

_𝑟𝑝

+

𝐷

_𝑠𝑞

-

𝐷

_𝑟𝑝

-

𝐷

_𝑠𝑝

=

0.

(12)

Но в силу (11) то же самое уравнение справедливо и в том случае, когда при наличии электродвижущей силы вдоль 𝐴_𝑟𝐴_𝑠 ток в проводнике 𝐴_𝑝𝐴_𝑞 равен нулю. Вследствие такого свойства взаимности два проводника, к которым оно относится, называются сопряжёнными.

Теория сопряжённых проводников была исследована Кирхгофом. Он сформулировал законы для линейной системы следующим образом, обходя рассмотрение потенциала.

1. (Условие «непрерывности»). В любой точке системы сумма всех токов, текущих к этой точке, равна нулю.

2. В любом замкнутом контуре, образованном проводниками, сумма электродвижущих сил, действующих в контуре, равна сумме произведений тока в каждом проводнике на его сопротивление.

Мы получаем этот результат, складывая уравнения вида (1) для замкнутого контура, когда потенциалы с необходимостью исчезают.

282 б¹.

Если проводники образуют простую сеть и мы предполагаем, что в каждой её ячейке циркулирует некоторый ток, тогда в том проводнике, который является общим для двух соседних ячеек, ток будет равен разности токов, циркулирующих в этих двух ячейках, причём токи считаются положительными, если они циркулируют в направлении против часовой стрелки. Для этого случая легко доказать следующее утверждение. Пусть 𝑥 - величина тока, 𝐸 - электродвижущая сила и 𝑅 - полное сопротивление в любой ячейке. Пусть, далее, 𝑦, 𝑧, … - токи, циркулирующие в соседних ячейках, имеющих общие проводники с той, в которой течёт ток 𝑥. Сопротивление этих общих проводников обозначим соответственно через 𝑠, 𝑡, …. Тогда

𝑅𝑥

-

𝑠𝑦

-

𝑡𝑧

- и т.д. =

𝐸

.

¹ Извлечено из записей лекций профессора Максвелла мистером Дж. А. Флемингом, бакалавром искусств (Сент Джонс Колледж). См. также статью м-ра Флеминга. Phil. Mag., XX, р. 221, 1885 (примечание Нивена).

Для того чтобы проиллюстрировать, как используется это правило, мы возьмём устройство, известное под названием мостика Уитстона, и будем исходить из чертежа и обозначений, принятых в п. 347. Применяя это правило к случаю трёх контуров 𝑂𝐵𝐶, 𝑂𝐶𝐴 и 𝑂𝐴𝐵 в которых циркулируют токи 𝑥, 𝑦, 𝑧 соответственно, мы получим три уравнения, а именно

(𝑎+β+γ)

𝑥

-γ

𝑦

-β

𝑧

=𝐸,

-γ

𝑥

+(𝑏+γ+α)

𝑦

-α

𝑧

=0,

-β

𝑥

-α

𝑦

+(𝑐+α+β)

𝑧

=0.

Из этих уравнений мы можем определить величину 𝑧-𝑦, ток, текущий через гальванометр в ответвлении 𝑂𝐴. Мы, однако, отсылаем читателя к п. 347 и последующим, где обсуждается этот и другие вопросы, связанные с мостиком Уитстона.

Тепло, производимое в системе