Трактат об электричестве и магнетизме

283. Механический эквивалент количества тепла, производимого в единицу времени в проводнике с сопротивлением 𝑅 при протекании тока 𝐶 определяется в согласии с п. 242 формулой

𝐽𝐻

=

𝑅𝐶²

.

(13)

Нам, следовательно, нужно определить сумму величин 𝑅𝐶² для всех проводников системы.

Проводник, соединяющий точки 𝐴_𝑝 и 𝐴_𝑞 имеет проводимость 𝐾_𝑝𝑞 и сопротивление 𝑅_𝑝𝑞, причём

𝐾

_𝑝𝑞

𝑅

_𝑝𝑞

=

1.

(14)

Ток в этом проводнике по закону Ома равен

𝐶

_𝑝𝑞

=

𝐾

_𝑝𝑞

(𝑃

_𝑝

-𝑃

_𝑞

)

.

(15)

Мы, однако, предположим, что значение тока не определяется законом Ома, а равно 𝑋_𝑝𝑞, где

𝑋

_𝑝𝑞

=

𝐶

_𝑝𝑞

𝑌

_𝑝𝑞

.

(16)

Чтобы определить тепло, производимое в системе, нам следует найти сумму всех величин вида 𝑅_𝑝𝑞𝑋²_𝑝𝑞 или

𝐽𝐻

=

∑

{

𝑅

_𝑝𝑞

𝐶²

_𝑝𝑞

+

2𝑅

_𝑝𝑞

𝐶

_𝑝𝑞

𝑌

_𝑝𝑞

+

𝑅

_𝑝𝑞

𝑌²

_𝑝𝑞

}

(17)

Внося значения 𝐶_𝑝𝑞 и помня соотношение между 𝐾_𝑝𝑞 и 𝑅_𝑝𝑞, получаем

∑

[

(𝑃

_𝑝

-𝑃

_𝑞

)

(𝐶

_𝑝𝑞

+2𝑌

_𝑝𝑞

)

+

𝑅

_𝑝𝑞

𝑌²

_𝑝𝑞

].

(18)

Теперь, поскольку и величины 𝐶 и величины 𝑌 должны удовлетворять условию непрерывности в точке 𝐴_𝑝, мы имеем

𝑄

_𝑝

=

𝐶

_𝑝1

+

𝐶

_𝑝2

+ и т.д. +

𝐶

_𝑝𝑛

,

(19)

𝑄

_𝑝

=

𝑋

_𝑝1

+

𝑋

_𝑝2

+ и т.д. +

𝑋

_𝑝𝑛

,

(20)

и, следовательно,

0

=

𝑌

_𝑝1

+

𝑌

_𝑝2

+ и т.д. +

𝑌

_𝑝𝑛

.

(21)

Поэтому, складывая все члены в (18), мы находим

∑

(

𝑅

_𝑝𝑞

𝑋²

_𝑝𝑞

)

=

∑

𝑃

_𝑝

𝑄

_𝑝

+

∑

𝑅

_𝑝𝑞

𝑋²

_𝑝𝑞

.

(22)

Поскольку величины 𝑅 всегда положительны и величины 𝑌² существенно положительны, последний член этого равенства должен быть существенно положителен. Следовательно, первый член правой части даёт минимальное значение всего выражения, соответствующее тому случаю, когда величина 𝑌 в каждом проводнике обращается в нуль и ток в каждом проводнике определяется законом Ома.

Отсюда вытекает следующая теорема:

284. В любой системе проводников, не содержащей внутренних электродвижущих сил, тепло, производимое токами, распределёнными по закону Ома, оказывается, меньше, чем если бы токи были распределены любым другим способом, совместным с реальными условиями втекания и вытекания тока.

Тепло, которое действительно производится в цепи при выполнении закона Ома, эквивалентно в механическом отношении величине ∑𝑃_𝑝𝑄_𝑞 сумме произведений количеств электричества, подводимых к разным внешним электродам, на потенциалы соответствующих электродов.

ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ VI

Изучаемые в п. 280 законы распределения токов могут быть выражены с по мощью следующих легко запоминаемых правил.

Пусть потенциал одной из точек, скажем точки 𝐴_𝑛 принят за нуль. Тогда, как показано в тексте, если в точку 𝐴_𝑠 притекает количество электричества 𝑄_𝑠 потенциал в точке 𝐴_𝑝 равен -(𝐷_𝑝𝑠/𝐷)𝑄_𝑠.

Величины 𝐷 и 𝐷_𝑝𝑠 могут быть определены с помощью следующих правил. Величина -𝐷 равна сумме произведений проводимостей, причём каждое произведение содержит (𝑛-1) сомножитель и не принимаются во внимание такие произведения, которые содержат проводимости ветвей, образующих замкнутые контуры. Величина 𝐷_𝑝𝑠 равна сумме произведений, составленных каждое из (𝑛-2) сомножителей, причём не учитываются такие произведения, которые содержат проводимости ветвей 𝐴_𝑝𝐴_𝑛 или 𝐴_𝑠𝐴_𝑛, а также такие, в которые входят проводимости ветвей, образующих либо сами по себе, либо с помощью ветвей 𝐴_𝑝𝐴_𝑛 или 𝐴_𝑠𝐴_𝑛 замкнутые контуры.

Из уравнения (10) видно, что электродвижущая сила 𝐸_𝑞𝑟, действующая в разветвлении 𝐴_𝑞𝐴_𝑟 действует так же, как и источник тока величины 𝐾_𝑞𝑟

𝐸_𝑞𝑟, расположенный в точке 𝑅, и сток той же величины, расположенный в точке 𝑄, так что предыдущее правило применимо и к этому случаю. Однако результат приложения этого правила можно сформулировать проще следующим образом. Если электродвижущая сила 𝐸_𝑝𝑞 действует вдоль проводника 𝐴_𝑝𝐴_𝑞, то величина тока, возникающего при этом в другом проводнике 𝐴_𝑟𝐴_𝑠, равна

𝐾

_𝑟𝑠

𝐾

_𝑝𝑞

Δ

𝐷

𝐸

_𝑝𝑞

,

где 𝐷 вычисляется по указанному выше правилу, а Δ=Δ₁-Δ₂.

Тогда Δ₁ вычисляется следующим образом: составим из проводимостей всевозможные произведения, содержащие (𝑛-2) сомножителей. Выберем из этих произведений такие, которые содержат как проводимость ветви 𝐴_𝑝𝐴_𝑟 (или произведение проводимостей тех ветвей, которые вместе с 𝐴_𝑝𝐴_𝑟 образуют замкнутый контур), так и проводимость ветви 𝐴_𝑞𝐴_𝑠 (или произведение проводимостей тех ветвей, которые вместе с 𝐴_𝑠𝐴_𝑞 образуют замкнутый контур). Из выбранных таким образом произведений отбросим те, которые содержат проводимости ветвей 𝐴_𝑟𝐴_𝑠 или 𝐴_𝑝𝐴_𝑞, или же произведения проводимостей тех ветвей, которые образуют замкнутые контуры либо сами по себе, либо с помощью 𝐴_𝑟𝐴_𝑠 или 𝐴_𝑝𝐴_𝑞. Сумма оставшихся членов даст выражение для Δ₁. Величина Δ₂ получается по тому же способу, только вместо ветвей 𝐴_𝑝𝐴_𝑟 и 𝐴_𝑠𝐴_𝑞 следует брать ветви 𝐴_𝑝𝐴_𝑠 и 𝐴_𝑞𝐴_𝑟 соответственно.

Если ток входит через точку 𝑃 и выходит через точку 𝑄, отношение этого тока к разности потенциалов между 𝐴_𝑝 и 𝐴_𝑞, равно 𝐷/Δ'.

Здесь Δ' представляет собой сумму произведений проводимостей, причём в каждое произведение входит (𝑛-2) сомножителей, и отбрасываются все те произведения, которые содержат проводимость ветви 𝐴_𝑝𝐴_𝑞 или содержат произведения проводимостей тех ветвей, которые вместе с ветвью 𝐴_𝑝𝐴_𝑞 образуют замкнутый контур.