Трактат об электричестве и магнетизме

Мы знаем, что в электростатической системе единиц отношение количества электричества, распределённого на некотором проводнике, к потенциалу этого проводника есть ёмкость проводника, измеряемая длиной. Если проводник представляет собой сферу, помещённую в безграничное поле, эта длина равна радиусу сферы. Поэтому отношение количества электричества к электродвижущей силе является длиной. Отношение же количества электричества к току есть время, в течение которого течёт ток, переносящий это количество электричества. Поэтому отношение тока к электродвижущей силе есть отношение длины к времени, иными словами, скорость.

В том, что проводимость в электростатической системе единиц имеет размерность скорости, можно убедиться, предположив, что сфера радиуса 𝑟, заряжена до потенциала 𝑉, а затем соединена с Землёй при помощи данного проводника. Пусть сфера сжимается, так что электричество уходит по проводнику, а потенциал сферы остаётся постоянным и равным 𝑉. Тогда заряд на сфере в любой момент времени равен 𝑟𝑉 а ток равен -𝑑/𝑑𝑟⋅(𝑟𝑉). Поскольку значение 𝑉 поддерживается постоянным, ток равен -𝑑𝑟/𝑑𝑟⋅𝑉, причём электродвижущая сила, вызывающая ток, равна 𝑉.

Проводимость проводника равна отношению тока к электродвижущей силе, или -𝑑𝑟/𝑑𝑟 т.е. скорости, с которой должен уменьшаться радиус сферы для того, чтобы потенциал её сохранял постоянное значение, по мере того как заряд уходит в Землю по проводнику.

Таким образом, в электростатической системе проводимость проводника есть скорость, и, следовательно, имеет размерность [𝐿^-1𝑇].

Стало быть, сопротивление проводника имеет размерность [𝐿^-1𝑇]. Удельное сопротивление на единицу объёма имеет размерность [𝑇], а удельная проводимость на единицу объёма имеет размерность [𝑇^-1].

Численное значение этих коэффициентов зависит только от выбора единицы времени, которая в разных странах одна и та же.

Удельное сопротивление на единицу веса имеет размерность [𝐿^-3𝑀𝑇].

279. В дальнейшем мы увидим, что в электромагнитной системе единиц сопротивление проводника выражается скоростью, так что в этой системе сопротивление проводника имеет размерность [𝐿𝑇^-1].

Проводимость проводника, разумеется, равна обратной величине.

Удельное сопротивление на единицу объёма имеет в этой системе единиц размерность [𝐿²𝑇^-1], а удельное сопротивление на единицу веса имеет размерность [𝐿^-1𝑇^-1𝑀].

Линейная система проводников в общем случае

280. Наиболее общий случай линейной системы представляет собой 𝑛 точек 𝐴₁, 𝐴₂, …, 𝐴_𝑛, соединённых между собой попарно с помощью 𝑛(𝑛-1)/2 линейных проводников. Пусть проводимость (или величина, обратная сопротивлению) проводника, который соединяет любую пару точек, скажем точки 𝐴_𝑝 и 𝐴_𝑞, обозначена через 𝐾_𝑝𝑞 Ток от точки 𝐴_𝑝 к точке 𝐴_𝑞 обозначим через 𝐶_𝑝𝑞. Пусть электрические потенциалы в точках 𝐴_𝑝 и 𝐴_𝑞 равны 𝑃_𝑝 и 𝑃_𝑞 соответственно, а внутренняя электродвижущая сила (если она есть), которая действует вдоль проводника от точки 𝐴_𝑝 к точке 𝐴_𝑞, равна 𝐸_𝑝𝑞.

Ток от 𝐴_𝑝 к 𝐴_𝑞 по закону Ома равен

𝐶

_𝑝𝑞

=

𝐾

_𝑝𝑞

(𝑃

_𝑝

-𝑃

_𝑞

+𝐸

_𝑝𝑞

)

.

(1)

Для этих величин мы имеем следующий набор соотношений.

Проводимость какого-либо проводника та же самая в любом направлении, или

𝐾

_𝑝𝑞

=

𝐾

_𝑞𝑝

.

(2)

Электродвижущая сила и ток является направленными величинами, т. е.

𝐸

_𝑝𝑞

=

-

𝐸

_𝑞𝑝

 и

𝐶

_𝑝𝑞

=

-

𝐶

_𝑞𝑝

.

(3)

Пусть 𝑃₁, 𝑃₂, …, 𝑃_𝑛 - значения потенциалов в точках 𝐴₁, 𝐴₂, …, 𝐴_𝑛 соответственно, a 𝑄₁, 𝑄₂, …, 𝑄_𝑛 - соответственные количества электричества, которые поступают в систему за единицу времени через эти точки. Эти величины с необходимостью подчиняются условию «непрерывности»

𝑄

₁

+

𝑄

₂

+…+

𝑄

_𝑛

=

0,

(4)

поскольку электричество не может неограниченно нарастать, а равно и производиться внутри системы.

Условие «непрерывности» в любой точке 𝐴_𝑝 есть

𝑄

_𝑝

=

𝐶

_𝑝1

+

𝐶

_𝑝2

+…+ и т.д.

𝐶

_𝑝𝑛

.

(5)

Подставляя значение токов из соотношения (1), получим

𝑄

_𝑝

=

(

𝐾

_𝑝1

+

𝐾

_𝑝2

+ и т.д. +

𝐾

_𝑝𝑛

)

𝑃

_𝑝

-

-

(

𝐾

_𝑝1

𝑃

₁

+

𝐾

_𝑝2

𝑃

₂

+ и т.д. +

𝐾

_𝑝𝑛

𝑃

_𝑛

)

+

+

(

𝐾

_𝑝1

𝐸

_𝑝1

+ и т.д. +

𝐾

_𝑝𝑛

𝐸

_𝑝𝑛

).

(6)

Символ 𝐾_𝑝𝑝 в это уравнение не входит. Поэтому мы можем принять

𝐾

_𝑝𝑝

=-(

𝐾

_𝑝1

+

𝐾

_𝑝2

+

𝐾

_𝑝𝑛

),

(7)

т.е. считать, что величина 𝐾_𝑝𝑝 равна, а знак противоположен сумме проводимостей всех проводников, сходящихся к точке 𝐴_𝑝 Тогда можем написать соотношение непрерывности для точки 𝐴_𝑝 в виде

𝐾

_𝑝1

𝑃

₁

+

𝐾

_𝑝2

𝑃

₂

+ и т.д. +

𝐾

_𝑝𝑝

𝑃

_𝑝

+ и т.д. +

𝐾

_𝑝𝑛

𝑃

_𝑛

=

=

𝐾

_𝑝1

𝐸

₁

+ и т.д. +

𝐾

_𝑝𝑛

𝐸

_𝑛

-

𝑄

_𝑝

.

(8)

Полагая в этом уравнении индекс 𝑝 равным поочерёдно 1,2 и т. д. 𝑛, мы получим 𝑛 уравнений одного и того же вида для определения 𝑛 потенциалов 𝑃₁, 𝑃₂, … 𝑃_𝑛.

Однако если мы сложим все уравнения системы (8), мы получим тождественный нуль в соответствии с соотношениями (3), (4) и (7). Поэтому число независимых уравнений в системе (8) равно 𝑛-1. Этого будет достаточно для того, чтобы определить разности потенциалов между любой парой точек, но не абсолютные значения потенциалов в каждой точке. Однако этого и не требуется для определения токов в системе.

Если мы обозначим через 𝐷 определитель

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

𝐾

₁₁

,

𝐾

₁₂

,

…,

𝐾

_1(𝑛-1)

,

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

,

𝐾

₂₁

,

𝐾

₂₂

,

…,

𝐾

_2(𝑛-1)

,

…,

…,

…,

…,

𝐾