Трактат об электричестве и магнетизме

В этих выражениях опускаются все члены, которые содержат произведение проводимостей, если соответствующие ветви образуют замкнутый контур.

Мы можем пояснить эти правила, применив их к очень важному случаю 4 точек, соединённых 6 проводниками. Обозначим точки номерами 1, 2, 3, 4.

Тогда 𝐷 равно сумме произведений проводимостей, причём каждое произведение состоит из трёх сомножителей, однако в сумму не включаются следующие 4 произведения: 𝐾₁₂𝐾₂₃𝐾₃₁, 𝐾₁₂𝐾₂₄𝐾₄₁, 𝐾₁₃𝐾₃₄𝐾₄₁ и 𝐾₂₃𝐾₃₄𝐾₄₂ поскольку они соответствуют четырём замкнутым контурам (123), (124), (134) и (234).

Таким образом,

𝐷

=

(𝐾

₁₄

+𝐾

₂₄

+𝐾

₃₄

)

(𝐾

₁₂

𝐾

₁₃

+𝐾

₁₂

𝐾

₂₃

+𝐾

₁₃

𝐾

₂₄

)

+

𝐾

₁₄

𝐾

₂₄

(𝐾

₁₃

+𝐾

₂₃

)

+

𝐾

₁₄

𝐾

₃₄

(𝐾

₁₂

+𝐾

₂₃

)

+

+

𝐾

₃₄

𝐾

₂₄

(𝐾

₁₂

+𝐾

₁₃

)

+

𝐾

₁₄

𝐾

₂₄

𝐾

₃₄

.

Предположим, что электродвижущая сила 𝐸 действует вдоль проводника (23), тогда ток в ветви (14) определяется соотношением

Δ₁-Δ₂

𝐷

𝐸

𝐾

₁₄

𝐾

₂₃

,

где Δ₁=𝐾₁₃𝐾₂₄ (по определению), Δ₂=𝐾₁₂𝐾₄₃.

Таким образом, если по проводнику (14) не идёт ток, 𝐾₁₃𝐾₂₄-𝐾₁₂𝐾₄₃=0; это равенство есть условие того, что проводники (23) и (14) являются сопряжёнными.

Ток через проводник (13) равен

𝐾₁₂(𝐾₁₄+𝐾₂₄+𝐾₃₄)+𝐾₁₄+𝐾₂₄

𝐷

𝐸

𝐾

₁₄

𝐾

₂₃

.

Проводимость всего соединения для случая, когда ток входит через точку (2) и выходит через точку (3), равна

𝐷

(𝐾₁₄+𝐾₂₄+𝐾₃₄) (𝐾₁₂+𝐾₁₃) + 𝐾₁₄(𝐾₂₄+𝐾₃₄)

.

Если соединение содержит 5 точек, то условие сопряжённости проводников (23) и (14) имеет вид

𝐾

₁₂

𝐾

₃₄

(𝐾

₁₅

+𝐾

₂₅

+𝐾

₃₅

+𝐾

₄₅

)

+

+

𝐾

₁₂

𝐾

₃₅

𝐾

₄₅

+

𝐾

₃₄

𝐾

₅₁

𝐾

₅₂

=

=

𝐾

₁₃

𝐾

₂₄

(𝐾

₁₅

+𝐾

₂₅

+𝐾

₃₅

+𝐾

₄₅

)

+

+

𝐾

₁₃

𝐾

₅₂

𝐾

₅₄

+

𝐾

₂₄

𝐾

₅₁

𝐾

₅₃

.

ГЛАВА VII

ПРОХОЖДЕНИЕ ТОКА В ТРЁХ ИЗМЕРЕНИЯХ

Запись электрических токов

285. Выберем в некоторой точке элемент площади 𝑑𝑆, ориентированный перпендикулярно к оси 𝑥. Пусть через эту площадку от отрицательной её стороны к положительной проходит 𝑄 единиц электричества за единицу времени. Тогда, если отношение 𝑄/𝑑𝑆 при безграничном уменьшении 𝑑𝑄 принимает предельное значение 𝑢, то эту величину 𝑢 называют Составляющей электрического тока в направлении оси 𝑥 в данной точке.

Точно так же мы можем определить 𝑣 и 𝑤 - составляющие электрического тока в направлениях соответственно 𝑦 и 𝑧.

286. Для того чтобы определить составляющую тока, проходящего через точку 𝑂, в любом другом направлении 𝑂𝑅, введём направляющие косинусы 𝑙, 𝑚, 𝑛 отрезка 𝑂𝑅. Тогда, если мы отсечём по осям 𝑥, 𝑦, 𝑧 от начала координат, помещённого в точку 𝑂, отрезки, равные 𝑟/𝑙, 𝑟/𝑚, и 𝑟/𝑛 а концы отрезков обозначим соответственно 𝐴, 𝐵 и 𝐶, то треугольник 𝐴𝐵𝐶 будет перпендикулярен направлению 𝑂𝑅 [рис. 23].

Рис. 23

Площадь этого треугольника 𝐴𝐵𝐶 равна

𝑑𝑆

=

1

2

𝑟²

𝑙𝑚𝑛

,

и при уменьшении 𝑟 эта площадь безгранично уменьшается.

Количество электричества, которое выходит из тетраэдра 𝐴𝐵𝐶𝑂 через треугольную грань 𝐴𝐵𝐶, должно быть равно тому количеству электричества, которое втекает через остальные грани 𝑂𝐵𝐶, 𝑂𝐶𝐴 и 𝑂𝐴𝐵.

Площадь треугольника 𝑂𝐵𝐶 равна 𝑟²/(2𝑚𝑛), а составляющая тока, нормальная к плоскости этого треугольника, равна 𝑢, следовательно, количество электричества, входящее через этот треугольник в единицу времени, равно 𝑟²𝑢/(2𝑚𝑛).

Количества электричества, которые входят через грани 𝑂𝐶𝐴 и 𝑂𝐴𝐵 за единицу времени, равны соответственно (𝑟²𝑣)/(2𝑛𝑙) и (𝑟²𝑤)/(2𝑙𝑚).

Если составляющую тока в направлении 𝑂𝑅 обозначить через γ, то количество электричества, выходящее за единицу времени из тетраэдра через грань 𝐴𝐵𝐶, равно (𝑟²γ)/(2𝑙𝑚𝑛). Поскольку эта величина равна тому количеству электричества, которое входит через три остальные грани, мы получаем выражение

1

2

𝑟²γ

𝑙𝑚𝑛

=

1

2

𝑟²

⎧

⎨

⎩

𝑢

𝑚𝑛

+

𝑣

𝑛𝑙

+

𝑤

𝑙𝑚

⎫

⎬

⎭

.

Умножив его (2𝑙𝑚𝑛)/𝑟², получаем

γ

=

𝑙𝑢

+

𝑚𝑣

+

𝑛𝑤

.

(1)

Если мы положим

𝑢²

+

𝑣²

+

𝑤²

=

Γ²

и введём три величины 𝑙', 𝑚' и 𝑛', такие, что

𝑢

=

𝑙'Γ

,

𝑣

=

𝑚'Γ

 и

𝑤

=

𝑛'Γ

, то

γ

=

Γ(𝑙𝑙'+𝑚𝑚'+𝑛𝑛')

.

(2)

Таким образом, если мы определим результирующий ток как вектор, величина которого равна Γ, а направляющие косинусы равны 𝑙', 𝑚', 𝑛', и если γ обозначает проекцию тока на направление, составляющее с направлением результирующего тока угол θ, то

γ

=

Γ cos θ

.

(3)

Это показывает, что законы разложения тока являются такими же, как и законы разложения скоростей, сил и всех других векторов.

287. Выведем условие того, что некоторая данная поверхность является поверхностью тока. Пусть уравнение

𝐹

(

𝑥

,

𝑦

,

𝑧

)

=

λ

(4)

определяет семейство поверхностей, любая из которых может быть получена заданием определённого значения постоянной λ Тогда, если положить

⎛

⎜

⎝

𝑑λ

𝑑𝑥

⎞²

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑λ

𝑑𝑦

⎞²

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑λ

𝑑𝑧

⎞²

⎟

⎠

=

1

𝑁²

,

(5)

то направляющие косинусы нормали, отсчитываемой в направлении роста λ, равны

𝑙

=

𝑁

𝑑λ

𝑑𝑥

,

𝑚

=

𝑁

𝑑λ

𝑑𝑦

,

𝑛

=

𝑁

𝑑λ

𝑑𝑧

.

(6)

Следовательно, если γ есть компонента тока, нормальная к поверхности, то

γ

=

𝑁

⎧

⎨

⎩

𝑢

𝑑λ

𝑑𝑥

+

𝑣

𝑑λ

𝑑𝑦

+

𝑤

𝑑λ

𝑑𝑧

⎫

⎬

⎭

.

(7)

При γ=0 ток через поверхность отсутствует. В этом случае поверхность можно назвать Поверхностью Потока, потому что линии потока лежат на этой поверхности.

288. Поэтому уравнение поверхности потока имеет вид

𝑢

𝑑λ

𝑑𝑥

+

𝑣

𝑑λ

𝑑𝑦

+

𝑤

𝑑λ

𝑑𝑧

=

0.

(8)