Трактат об электричестве и магнетизме

В результате этих трёх операций вещество проводимости 𝑟 разобьётся на прямоугольные параллелепипеды с размерами 𝑎, 𝑏, 𝑐, причём размер 𝑏 крайне мал по сравнению с 𝑐 и размер 𝑎 крайне мал по сравнению с 𝑏. Эти параллелепипеды погружены в вещество с проводимостью 𝑠, так что они отдалены друг от друга на расстояния 𝑘₁𝑎 вдоль оси 𝑥, 𝑘₂𝑏 - в направлении оси 𝑦 и 𝑘₃𝑐 - в направлении оси 𝑧. Проводимости образованного таким образом проводника можно определить, если трижды последовательно воспользоваться результатами п. 321.

При этом мы получим

𝑟

₁

=

{1+𝑘

₁

(1+𝑘

₂

)(1+𝑘

₃

)}𝑟

+

(𝑘

₂

+𝑘

₃

+𝑘

₂

𝑘

₃

)𝑠

(1+𝑘₂)(1+𝑘₃)(𝑘₁𝑟+𝑠)

𝑠

,

𝑟

₂

=

(1+𝑘

₂

+𝑘

₂

𝑘

₃

)𝑟

+

(𝑘

₁

+𝑘

₃

+𝑘

₁

𝑘

₂

+𝑘

₁

𝑘

₃

+𝑘

₁

𝑘

₂

𝑘

₃

)

𝑠

,

(1+𝑘₃){𝑘₂𝑟+(1+𝑘₁+𝑘₁𝑘₂)𝑠}

𝑠

,

𝑟

₃

=

(1+𝑘₃)(𝑟+(𝑘₁+𝑘₂+𝑘₁𝑘₂)𝑠)

𝑘

₁

𝑟

+

(1+𝑘

₁

+𝑘

₂

+𝑘

₂

𝑘

₃

+𝑘

₃

𝑘

₁

+𝑘

₁

𝑘

₂

+𝑘

₁

𝑘

₂

𝑘

₃

)𝑠

𝑠

.

Точность этого рассмотрения определяется тем, что три размера параллелепипедов имеют разные порядки величины, так что мы можем пренебречь условиями, которые должны быть выполнены на рёбрах и в вершинах. Если мы положим каждую из величин 𝑘₁, 𝑘₂, 𝑘₃ равной единице, то получим

𝑟

₁

=

5𝑟+3𝑠

4𝑟+4𝑠

𝑠

,

𝑟

₂

=

3𝑟+5𝑠

2𝑟+6𝑠

𝑠

,

𝑟

₃

=

2𝑟+6𝑠

𝑟+7𝑠

.

Если 𝑟=0, т. е. если среда, из которой сделаны параллелепипеды, представляет собой совершенный изолятор, то

𝑟

₁

=

3

4

𝑠

,

𝑟

₂

=

5

6

𝑠

,

𝑟

₃

=

6

7

𝑠

.

Если 𝑟=∞, т. е. если параллелепипеды являются идеальными проводниками,

𝑟

₁

=

5

4

𝑠

,

𝑟

₂

=

3

2

𝑠

,

𝑟

₃

=

2𝑠

.

В любом случае, если 𝑘₁

=𝑘₂=𝑘₃, можно показать, что 𝑟₁, 𝑟₂ и 𝑟₃, расположены в порядке возрастания величины, так что наибольшая проводимость имеет место в направлении наибольшего размера параллелепипедов, а наибольшее сопротивление - в направлении наименьших размеров.

323. Пусть в прямоугольном параллелепипеде, сделанном из проводящего твёрдого тела, имеется проводящий канал между противоположными вершинами, представляющий собой провод, покрытый изолирующим материалом. Пусть поперечные размеры канала настолько малы, что проводимость тела не изменяется, если не считать тока, идущего по проводу.

Пусть размеры параллелепипеда в направлениях координатных осей будут равны 𝑎, 𝑏 и 𝑐, и пусть проводимость канала, идущего от начала координат к точке (𝑎𝑏𝑐), равна 𝑎𝑏𝑐𝐾.

Электродвижущая сила, действующая между концами канала, равна 𝑎𝑋+𝑏𝑌+𝑐𝑍, и если ток вдоль канала равен 𝐶' то 𝐶'=𝐾𝑎𝑏𝑐(𝑎𝑋+𝑏𝑌+𝑐𝑍).

Ток, идущий через грань параллелепипеда 𝑏𝑐 равен 𝑏𝑐𝑢, и он складывается из тока, обусловленного проводимостью тела, и из тока, обусловленного проводимостью канала, или

𝑏𝑐𝑢

=

𝑏𝑐

(𝑟

₁

𝑋+𝑝

₁

𝑌+𝑞

₁

𝑍)

+

𝐾𝑎𝑏𝑐(𝑎𝑋+𝑏𝑌+𝑐𝑍)

,

или

𝑢

=

(𝑟

₁

+𝐾𝑎²)𝑋

+

(𝑝

₃

+𝐾𝑎𝑏)𝑌

+

(𝑞

₂

+𝐾𝑏𝑎)𝑍

.

Таким же путём мы можем найти значения 𝑣 и 𝑤. Коэффициенты проводимости с учётом изменения, которое вызвано влиянием канала, имеют вид

𝑟

₁

+𝐾𝑎²,

𝑟

₂

+𝐾𝑏²,

𝑟

₃

+𝐾𝑐²,

𝑝

₁

+𝐾𝑏𝑐,

𝑝

₁

+𝐾𝑐𝑎,

𝑝

₃

+𝐾𝑎𝑏,

𝑞

₁

+𝐾𝑏𝑐,

𝑞

₂

+𝐾𝑐𝑎,

𝑞

₃

+𝐾𝑎𝑏.

В этих выражениях добавки к значениям 𝑝₁ и т.д., вызванные действием канала, равны добавкам к значениям 𝑞₁ и т. д. Следовательно, значения 𝑝₁ и 𝑞₁ не могут стать неравными из-за введения линейного канала в каждый элемент объёма тела, и поэтому свойство вращения, рассмотренное в п. 303, если оно первоначально отсутствовало у тела, не может быть создано таким способом.

324.Как построить решётку из проводников, которая будет иметь любые заданные коэффициенты проводимости, образующие симметричную систему.

Рис. 25

Пусть пространство разбито на одинаковые малые кубы, один из которых представлен на рис. 25. Обозначим координаты точек 𝑂, 𝐿, 𝑀, 𝑁 и потенциалы этих точек следующим образом:

𝑥

𝑦

𝑧

Потенциал

0

0

0

0

𝑋+𝑌+𝑍

𝐿

0

1

1

𝑋

𝑀

1

0

1

𝑌

𝑁

1

1

0

𝑍

Пусть эти четыре точки соединены шестью проводниками

𝑂𝐿

,

𝑂𝑀

,

𝑂𝑁

,

𝑀𝑁

,

𝑁𝐿

,

𝐿𝑀

,

у которых значения проводимости соответственно равны

𝐴

,

𝐵

,

𝐶

,

𝑃

,

𝑄

,

𝑅

.

Электродвижущие силы вдоль этих проводников будут равны

𝑌+𝑍

,

𝑍+𝑋

,

𝑋+𝑌

,

𝑌-𝑍

,

𝑍-𝑋

,

𝑋-𝑌

,

а токи -

𝐴(𝑌+𝑍)

,

𝐵(𝑍+𝑋)

,

𝐶(𝑋+𝑌)

,

𝑃(𝑌-𝑍)

,

𝑄(𝑍-𝑋)

,

𝑅(𝑋-𝑌)

.

Те из этих токов, которые переносят электричество в положительном направлении оси 𝑥, протекают вдоль проводников 𝐿𝑀, 𝐿𝑁, 𝑂𝑀, и 𝑂𝑁, а переносимое количество равно

𝑢

=

(𝐵+𝐶+𝑂+𝑅)

𝑋

+(𝐶-𝑅)

𝑌

+(𝐵-𝑄)

𝑍.

Подобным же образом,

𝑣

=

(𝐶-𝑅)

𝑋

+(𝐶+𝐴+𝑅+𝑃)

𝑌

+(𝐴-𝑃)

𝑍,

𝑤

=

(𝐵-𝑄)

𝑋

+(𝐴-𝑃)

𝑌

+(𝐴+𝐵+𝑃+𝑄)

𝑍.

Откуда путём сравнения с уравнениями проводимости, п. 298, находим

4𝐴

=

𝑟

₂

+𝑟

₃

-𝑟

₁

+2𝑝

₁

,

4𝑃

=

𝑟

₂

+𝑟

₃

-𝑟

₁

-2𝑝

₁

4𝐵

=

𝑟

₃

+𝑟

₁

-𝑟

₂

+2𝑝

₂

,

4𝑄

=

𝑟

₃

+𝑟

₁

-𝑟

₂

-2𝑝

₂

4𝐶

=

𝑟

₁

+𝑟

₂

-𝑟

₃

+2𝑝

₃

,

4𝑅

=

𝑟

₁

+𝑟

₂

-𝑟

₃

-2𝑝

₃

ГЛАВА X

ПРОХОЖДЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСТВА В ДИЭЛЕКТРИКАХ

325. Мы видели, что, когда электродвижущая сила действует на диэлектрическую среду, она производит в среде состояние, которое мы назвали электрической поляризацией и которое мы описали как электрическое смещение внутри среды в направлении, в изотропной среде совпадающем с направлением электродвижущей силы, сопровождаемое появлением поверхностного заряда на каждом из элементов объёма, на которые, как мы можем предположить, разбит диэлектрик. Поверхностный заряд положителен на той стороне, по направлению к которой действует электродвижущая сила, и отрицателен на той стороне, от которой она действует.