Трактат об электричестве и магнетизме

𝑘₂+𝑘₃

𝐸'

.

(12)

Подобным же образом снова для поверхности, проходящей через 𝐴,

𝐽'

₁

=

𝑘₁-𝑘₂

𝑘₁+𝑘₂

𝐼'

₁

,

𝐼

₁

=

2𝑘₁

𝑘₁+𝑘₂

𝐼'

₁

,

(13)

и для поверхности, проходящей через 𝐵,

𝐼'

₂

=

𝑘₃-𝑘₂

𝑘₃+𝑘₂

𝐽'

₁

,

𝐽

₁

=

2𝑘₃

𝑘₃+𝑘₂

𝐽'

₁

.

(14)

Если мы обозначим

ρ

=

𝑘₁-𝑘₂

𝑘₁+𝑘₂

 и

ρ'

=

𝑘₃-𝑘₂

𝑘₃+𝑘₂

,

то найдём для потенциала в первой среде

𝑉

=

𝐸

𝑃𝑆

-

ρ

𝐸

𝑃𝐼

+

(1-ρ²)ρ'

𝐸

𝑃𝐼₁

+

ρ'(1-ρ²)ρρ'

𝐸

𝑃𝐼₂

+ и т.д +

+

ρ'(1-ρ²)(ρρ')

^𝑛-1

𝐸

𝑃𝐼_𝑛

+

.

(15)

Для потенциала в третьей среде мы найдём

𝑉

=

(1+ρ')(1-ρ)

𝐸

⎧

⎨

⎩

1

𝑃𝑆

+

ρρ'

𝑃𝐽₁

+ и т.д. +

(ρρ')^𝑛

𝑃𝐽_𝑛

+…

⎫

⎬

⎭

.

(16)

Если первая среда такая же, как третья, то 𝑘₁=𝑘₃, ρ=ρ', и потенциал по другую сторону пластины будет равен

𝑉

=

(1-ρ²)

𝐸

⎧

⎨

⎩

1

𝑃𝑆

+

ρ²

𝑃𝐽₁

+ и т.д. +

ρ^2𝑛

𝑃𝐽_𝑛

+…

⎫

⎬

⎭

.

(17)

Если пластина является намного более хорошим проводником, чем остальная среда, величина ρ очень близка к 1. Если среда является почти идеальным изолятором, величина ρ очень близка к -1, а если проводимость пластины мало отличается от проводимости среды, ρ есть малая величина, положительная или отрицательная.

Эта задача была впервые поставлена Грином в его работе «Теория магнитной индукции» (Essay, р. 65). Его результат, однако, верен только в случае, когда величина ρ почти равна единице ². Величина 𝑔, которую использует Грин, связана с ρ уравнениями

𝑔

=

2ρ

3-ρ

=

𝑘₁-𝑘₂

𝑘₁

+2𝑘₂

,

ρ

=

3𝑔

2+𝑔

=

𝑘₁-𝑘₂

𝑘₁+𝑘₂

.

² См. сэр У. Томсон «О наведённом магнетизме в пластине», Camb. and Dub. Math. Journal, Nov., 1845 или Reprint, art. IX, § 156.

Если мы положим ρ=2π𝑘/(1+2π𝑘), то получим решение задачи о магнитной индукции, наведённой магнитным полюсом в бесконечной пластине с коэффициентом намагничения k.

О слоистых проводниках

319. Пусть проводник составлен из чередующихся слоёв с толщинами 𝑐 и 𝑐' из двух веществ с различными коэффициентами проводимости. Требуется определить коэффициенты сопротивления и проводимости у составного проводника.

Будем считать, что плоскости слоёв нормальны к оси 𝑧. Будем помечать штрихом каждую величину, относящуюся к слою второго вещества, а величины, относящиеся к составному проводнику, будем помечать чертой сверху, например, 𝑋. Тогда

𝑋

=

𝑋

=

𝑋',

(𝑐+𝑐')

𝑢

=

𝑐𝑢+𝑐'𝑢',

𝑌

=

𝑌

=

𝑌',

(𝑐+𝑐')

𝑣

=

𝑐𝑣+𝑐'𝑣',

(𝑐+𝑐')

𝑍

=

𝑐𝑍+𝑐'𝑍',

𝑤

=𝑤

=

𝑤',

Сначала мы должны определить 𝑢, 𝑢', 𝑣, 𝑣', 𝑍 и 𝑍' через 𝑋, 𝑌, и 𝑤 из уравнений сопротивления, п. 297, или уравнений проводимости, п. 298. Если мы обозначим через 𝐷 детерминант, составленный из коэффициентов сопротивления, мы найдём

𝑢𝑟

₃

𝐷

=

𝑅

₂

𝑋

-

𝑄

₃

𝑌

+

𝑤

𝑞

₂

𝐷,

𝑣𝑟

₃

𝐷

=

𝑅

₁

𝑌

-

𝑃

₃

𝑋

+

𝑤

𝑝

₁

𝐷,

𝑍𝑟

₃

=

-𝑝

₂

𝑋

-

𝑞

₁

𝑌

+

𝑤

.

Аналогичные соотношения для штрихованных величин дают значения 𝑢', 𝑣', и 𝑍'. Выразив 𝑢, 𝑣 и 𝑤 через 𝑋, 𝑌 и 𝑍, мы можем написать уравнения проводимости для слоистого проводника. Полагая ℎ=𝑐/𝑟₃ и ℎ'=𝑐'/𝑟'₃, мы найдём

𝑝

₁

=

ℎ𝑝₁+ℎ'𝑝'₁

ℎ+ℎ'

,

𝑞

₁

=

ℎ𝑞₁+ℎ'𝑞'₁

ℎ+ℎ'

,

𝑝

₂

=

ℎ𝑝₁+ℎ'𝑝'₁

ℎ+ℎ'

,

𝑞

₂

=

ℎ𝑞₂+ℎ'𝑞'₂

ℎ+ℎ'

,

𝑝

₃

=

𝑐𝑝₃+𝑐'𝑝'₃

𝑐+𝑐'

-

ℎℎ'(𝑞₁-𝑞'₁)(𝑞₂-𝑞'₂)

(ℎ+ℎ')(𝑐+𝑐')

,

𝑞

₃

=

𝑐𝑞₃+𝑐'𝑞'₃

𝑐+𝑐'

-

ℎℎ'(𝑝₁-𝑝'₁)(𝑝₂-𝑝'₂)

(ℎ+ℎ')(𝑐+𝑐')

,

𝑟

₁

=

𝑐𝑟₁+𝑐'𝑟'₁

𝑐+𝑐'

-

ℎℎ'(𝑝₂-𝑝'₂)(𝑞₂-𝑞'₂)

(ℎ+ℎ')(𝑐+𝑐')

,

𝑟

₂

=

𝑐𝑟₂+𝑐'𝑟'₂

𝑐+𝑐'

-

ℎℎ'(𝑝₁-𝑝'₁)(𝑞₁-𝑞'₁)

(ℎ+ℎ')(𝑐+𝑐')

,

𝑟

₃

=

𝑐+𝑐'

ℎ+ℎ'

.

320. Если ни одно из двух веществ, составляющих слои, не обладает свойством вращения, рассмотренным в п. 303, значение любой из величин 𝑃 или 𝑝 будет равно значению соответствующей величины 𝑄 или 𝑞. Отсюда следует, что в слоистом проводнике также 𝑝₁=𝑞₁, 𝑝₂=𝑞₂, 𝑝₃=𝑞₃.

Другими словами, разделение на слои не приводит к свойству вращения, если этого свойства нет ни у одного из веществ, составляющих слои.

321. Если мы теперь предположим, что свойство вращения отсутствует и что оси 𝑥, 𝑦, 𝑧 являются главными осями, тогда коэффициенты 𝑝 и 𝑞 исчезают и

𝑟

₁

=

𝑐𝑟₁+𝑐'𝑟'₁

𝑐+𝑐'

,

𝑟

₂

=

𝑐𝑟₁+𝑐'𝑟'₂

𝑐+𝑐'

,

𝑟

₃

=

𝑐+𝑐'

(𝑐/𝑟₁)+(𝑐'/𝑟'₁)

.

Если мы начнём со случая, когда обе среды изотропны, но имеют различные проводимости 𝑟 и 𝑟', то, поскольку

𝑟

₁

-

𝑟

₃

=

𝑐𝑐'

𝑐+𝑐'

⋅

(𝑟-𝑟')²

(𝑐𝑟'+𝑐'𝑟)

,

разбиение на слои приводит к тому, что в направлении, перпендикулярном слоям, сопротивление оказывается наибольшим, а сопротивления по всем направлениям в плоскости слоёв одинаковы.

322. Возьмём изотропную среду проводимости 𝑟, разобьём её на исключительно тонкие слои толщиной 𝑎 и расположим их попеременно со слоями вещества, проводимость которого равна 𝑠, а толщина 𝑘₁𝑎.

Пусть эти слои будут нормальны к оси 𝑥. Затем разобьём этот составной проводник на гораздо более толстые слои толщины 𝑏, перпендикулярные оси 𝑦, и расположим эти слои попеременно со слоями, проводимость которых равна 𝑠, а толщина 𝑘₂𝑏.

Наконец, разобьём этот новый проводник на ещё более толстые слои толщины 𝑐, перпендикулярные к оси 𝑧, и расположим эти слои попеременно со слоями, проводимость которых равна 𝑠, а толщина 𝑘₃𝑐.