Удивительные числа Вселенной. Путешествие за грань воображения

Фреге начал разрабатывать основы арифметики с помощью такого нового теоретико-множественного языка, но, когда в печать отправился второй том его труда, в доме ученого взорвалась бомба. Она имела вид письма от британского философа, логика и математика Бертрана Рассела. Как всегда бывало у Рассела, письмо оказалось блестящим и уничтожило работу Фреге одним взрывом[100]. Идея Фреге предполагала, что всегда можно говорить о множестве всех множеств, обладающих определенным свойством. Вот почему ему было удобно использовать множество всех множеств с пятью элементами, чтобы представлять число 5, или множество всех множеств с десятью элементами, чтобы представлять число 10. Но такое бесцеремонное определение больших множеств чревато опасностью. Рассел спросил: «Как насчет множества всех множеств, которые не содержат самих себя?»

Чтобы показать вам, к чему клонит Рассел, расскажу о моем знакомом парикмахере по имени Джузеппе. Он зарабатывает на жизнь тем, что бреет всех мужчин, которые не бреют себя сами. Когда я узнал об этом, я задался вопросом: кто бреет Джузеппе? Может, он бреет себя сам? Нет, этого не может быть, потому что он бреет только тех мужчин, которые не бреются сами. Следовательно, он не бреет себя сам. Но этого тоже не может быть: если он не бреется сам, то его должен брить Джузеппе.

Но ведь он же и есть Джузеппе!

Вопрос Рассела к Фреге был заряжен весьма похожим динамитом[101]. Несмотря на ущерб, который он нанес теории Фреге, Рассел попытался воскресить некоторые из его идей, чтобы избежать парадокса. Он по-прежнему думал о числах примерно так же: собирая воедино множества заданного размера. Он просто не мог идентифицировать эти наборы как самостоятельные множества. Оказывается, существует гораздо более простой и экономичный способ думать о натуральных числах, используя множества, и он опирается на единственное число – ноль.

Какое множество мы должны отождествить с нулем? Это мы уже выяснили. Очевидный выбор – пустое множество, то есть множество, в котором нет элементов. Полезно думать о нем в терминах пустого ящика. Если мы хотим сгенерировать другие числа, нам нужны ящики, которые не будут пустыми. Чтобы получить число 1, нам надо поместить в ящик один объект. Какой именно? Ну на этом этапе у нас есть только ноль и пустые ящики. Таким образом, мы можем поместить в наш ящик пустой ящик и назвать все это «один». На теоретико-множественном языке мы говорим, что один – это множество, содержащее только пустое множество. А что такое два? Ящик для этого числа должен содержать два разных объекта. Но так случилось, что у нас как раз есть два объекта – это ящики, которые мы отождествили с нулем и единицей. Остается поместить их в следующий ящик и назвать всю конструкцию «два». Иными словами, два – это множество, содержащее множества, соответствующие нулю и единице.

Построение натуральных чисел: ноль – пустое множество, изображенное в виде пустого ящика; один – ящик, содержащий пустой ящик, то есть ноль; два – ящик, содержащий ноль и один; и т. д.

Мы можем продолжить: три – это множество, содержащее ноль, один и два; четыре – множество, содержащее ноль, один, два и три и т. д., пройдя весь путь, минуя по ходу числа TREE(3) и TREE(TREE(3)), сопоставляя каждое натуральное числу и его собственное характеристическое множество. Внутри динамики множеств Джон фон Нейман и Эрнст Цермело увидели основы чисел и арифметики. Ноль превратился в пустое множество – множество ничего. Он стал семенем, из которого мы вырастили дерево всех натуральных чисел.

В этой чудесной абстракции можно найти ноль, но существует ли он на самом деле? Здесь нет единого мнения. Платоники утверждают, что ноль существует, как и все другие числа, но только в абстрактном смысле, вне пространства и времени. Номиналисты более практичны. Они полагают, что числа существуют только для подсчета вещей, которые мы видим в реальном мире (хлебов, рыб, кувшинов с маслом), поэтому они отрицают существование выделенного числа. Фикционалисты вообще отрицают существование чисел! А вот я верю в числа. Я вижу ноль в абстракции пустого множества, а в пустом множестве – симметрию.

Почему? Объясню с помощью Ничто.

Нам нужно отличать ничто от Ничто. Ничто с прописной буквы – понятие абсолютное и гораздо более трудное для понимания. Мы не должны думать о нем как о том, что можно создать, убрав все вещи: яблоки, апельсины, молекулы воздуха или даже законы физики. Мы можем создать вакуум, но никогда не сможем создать Ничто. Истинное Ничто нельзя получить из чего-то, и оно не может потенциально быть чем-то. Вы ничего не можете с этим поделать. Если оно существует – хотя трудно понять, как это возможно, – мы должны быть от него отделены.