Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир

Преподаватели математики должны быть готовы к тому, что текстовые задачи заставляют нас делать упрощающие предположения. Этот ценный навык называется математическим моделированием. Ученые используют его всегда, когда применяют математику к явлениям реального мира. Но они, в отличие от авторов большинства текстовых задач, как правило, заранее сообщают о своих допущениях.

Итак, спасибо дядюшке Ирву за первый урок. Незабываемый? Да. Унизительный? Да, но — в хорошем смысле.

10. Игра с квадратами

Формула для вычисления корней квадратного уравнения — это Родни Дэнджерфилд[12] алгебры. И, будучи одной из формул всех времен и народов, она не заслужила никакого уважения. Даже профессионалы не особо ее жалуют. Когда математиков и физиков просят составить десятку самых красивых или важных уравнений36 всех времен, квадратное уравнение никогда не проходит отбор. Да, конечно, все восторгаются 1 + 1 = 2, E = mc² и элегантной маленькой теоремой Пифагора, которая важничает просто потому, что она вот такая: a² + b

² = c². Но квадратное уравнение? Конечно же нет.

По общему признанию, формула для вычисления корней квадратного уравнения некрасива. Некоторые студенты начинают робко выяснять у нее результат, произнося как ритуальное заклинание: «х равен минус b плюс-минус квадратный корень из b квадрат минус четыре ac, деленное на два a

». Другие сделаны из более прочного материала и смотрят формуле прямо в лицо, бесстрашно сопротивляясь пугающей смеси из букв и символов:

И только когда вы осознаете, на что способна эта формула, вы начинаете ценить ее внутреннюю красоту. Надеюсь, эта глава поможет вам совладать с кажущимся сумбуром символов, а также позволит понять, что означает уравнение и откуда оно берется.

Во многих ситуациях мы хотели бы выяснить значение некоего неизвестного числа. Какую дозу лучевой терапии следует применить, чтобы уменьшить опухоль щитовидной железы? Сколько денег вам придется платить ежемесячно, чтобы покрыть тридцатилетний ипотечный кредит в размере 200 тысяч долларов при фиксированной годовой процентной ставке, равной 5%? С какой скоростью должны лететь ракеты, чтобы преодолеть притяжение Земли?

В алгебре мы уже получили первый опыт решения простейших задач такого типа. Эти решения были разработаны исламскими математиками около 800 года нашей эры и основывались на более ранних исследованиях египетских, вавилонских, греческих и индийских ученых. Импульсом для их разработки послужили сложности при расчете размера наследства37 по канонам исламского права.

Например, предположим, что умирает вдовец и оставляет все свое имущество (10 дирхемов) дочери и двум сыновьям. Согласно законам ислама, сыновья должны получить равные доли, причем каждому сыну положена сумма вдвое большая, чем дочери. Сколько дирхемов причитается каждому из наследников?

Давайте используем букву х для обозначения суммы наследства дочери. Пока нам неизвестно значение х, мы можем рассуждать о нем как об обычном числе. В частности, мы знаем, что каждый сын получит в два раза больше, чем дочь, то есть по 2

x. Таким образом, общее наследство равно x + 2x + 2x, всего 5x, и эта сумма должна равняться общей стоимости наследственного имущества в 10 дирхемов. Следовательно, 5x = 10 дирхемов. Наконец, разделив обе части уравнения на 5, мы видим, что х = 2 дирхема (это доля дочери). Поскольку каждый из сыновей наследует 2x

, то им причитается по 4 дирхема.

Обратите внимание, что в этой задаче появилось два типа чисел: известные — 2, 5 и 10 и неизвестные, такие как х. Как только мы смогли вывести соотношение между ними (воплощенное в уравнении 5x = 10), сразу же получили возможность выделить неизвестное х, упростив уравнение путем деления его обеих частей на 5. Это немного напоминает, как скульптор обрабатывает кусок мрамора, пытаясь освободить статую из камня.

Потребовалась бы несколько иная тактика, если бы мы столкнулись с необходимостью вычесть известное число из неизвестного, как в уравнении х – 2 = 5. Чтобы выделить x в этом случае, мы избавляемся от 2, добавив ее в обе части уравнения. Следовательно, слева будет х, а справа 5 + 2 = 7. Таким образом, x = 7, что вы, конечно, уже поняли.

Хотя этот метод сейчас знаком всем студентам, изучающим алгебру, они не осознают, что от него произошло само понятие алгебры. В начале IX века работавший в Багдаде математик Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми38 написал фундаментальный учебник, в котором говорилось, что к обеим частям уравнения следует прибавлять величину, равную вычитаемой величине (число 2 в приведенном выше примере). Он назвал этот процесс al-jabr (по-арабски «восстановление»), что позже трансформировалось в «алгебру». Затем, спустя много лет после своей смерти, он опять выиграл этимологический джекпот, поскольку его собственное имя, аль-Хорезми, живет и доныне в слове «алгоритм».