Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир

В наше время квадратные уравнения стали незаменимым инструментом для практического применения. Инженеры и ученые используют их для настройки радиоаппаратуры, анализа вибрации пешеходных мостов и небоскребов, расчетов движения пушечного ядра, снижения и роста популяции животных и бесчисленного множества других явлений реального мира.

Для формулы, родившейся тринадцать веков назад, это совсем немало.

11.Инструменты силы

Если вы были страстным любителем телевидения в 1980-х, то, конечно, помните сериал под названием «Детективное агентство “Лунный свет”» с живыми диалогами и романтическими отношениями между партнерами по фильму. В нем пару проницательных частных детективов Дэвида Эддисона и Мэдди Хэйс исполняли Брюс Уиллис и Сибилл Шепард.

В ходе расследования одного особенно жестокого дела Дэвид интересуется у помощника, кто ему кажется наиболее вероятным преступником. «Ума не приложу», — отвечает Мэдди. «А вы знаете, чего я не понимаю?» — спрашивает Дэвид. «Логарифмов?» — догадывается помощник. И Дэвид, реагируя на взгляд Мэдди, произносит: «А что? Вы их понимаете?»

Это довольно точно отражает всеобщее отношение к логарифмам. Большинство людей после окончания средней школы их никогда уже больше не используют, по крайней мере осознанно, и не обращают внимания на логарифмы, скрывающиеся за кулисами повседневной жизни.

То же самое касается и многих других функций39, рассматриваемых в высшей математике и началах анализа. Степенные функции, показательные функции — в чем их суть? В этой главе я хочу помочь вам по достоинству оценить их полезность, даже если вам никогда не приходилось нажимать на кнопки инженерного калькулятора.

Математику необходимы функции по той же причине, что и строителю молотки и сверла. Инструменты преобразовывают вещи. То же самое делают функции. Поэтому математики часто обращаются к ним для выполнения преобразований. Но вместо дерева и стали функции обрабатывают числа и графики, а порой и другие функции.

Чтобы понять, что я имею в виду, давайте построим график уравнения у = 4 – х². Возможно, вы помните, как это делается: сначала вы рисуете плоскость

xy с горизонтальной осью х и вертикальной у. Затем для каждого значения х вычисляете соответствующее значение y; эта пара чисел является координатами одной точки графика на плоскости xy. Например, если х = 1, то уравнение говорит, что y = 4 – 1² = 4 – 1 = 3. Таким образом (х, у) = (1, 3) координаты точки. После того как вы вычислите и построите еще несколько точек на плоскости, возникнет следующая картина.

У нас получилась изогнутая математическими плоскогубцами кривая. В уравнении для у функция, которая преобразует x в x

², ведет себя подобно обычному инструменту для сгибания материала. Когда ее прикладывают к любой точке на оси х (прямую от точки х до точки х² можно представить в виде прямого куска проволоки), плоскогубцы изгибают и вытягивают этот кусок проволоки в направлении вниз так, чтобы получилась изогнутая арка, как показано на рисунке.

А какую роль играет число 4 в уравнении у = 4 – x²? Это гвоздь, на который повесят картину на стену. Он поднимает изогнутые арки из проволоки на 4 единицы вверх. Так как при этом все точки кривой поднимаются на одинаковую высоту, то она считается постоянной функцией.

Данный пример иллюстрирует двойственный характер функций. С одной стороны, это инструменты: x² изгибает часть оси

х, а 4 — ее лифт. С другой — строительные блоки: 4 и x² можно рассматривать как составные части более сложной функции 4 – х², точно так же, как провода, аккумуляторы и транзисторы — составные части радиоприемника.

Как только вы начинаете смотреть на мир подобным образом, сразу же везде замечаете функции. Описанная выше в виде арки кривая, в математике называемая параболой, — это автограф, который дала квадратичная функция за кулисами. Ищите ее, когда любуетесь струями фонтана. И если вам доведется побывать в международном аэропорту Детройта, обязательно остановитесь у фонтана терминала Delta, чтобы насладиться потрясающими резвящимися параболами40.

Параболы и константы ассоциируются с более широким классом функций — степенными функциями вида xⁿ, в которых значение переменной x возводится в фиксированную степень n. Для параболы n = 2, для константы n

= 0.

Разные значения n дают различные ручные инструменты. Например, возведение х в первую степень (n = 1) дает функцию, которая работает как пандус, отражая устойчивое увеличение роста или спада. Такая функция называется линейной, потому что ее графиком, построенным по точкам с координатами (x, y), является прямая линия. Если вы оставите на улице пустое ведро во время непрекращающегося ливня, то количество воды в нем будет расти линейно во времени.

Еще один полезный инструмент — обратно пропорциональная квадратичная функция у = 1/x², здесь n = –2. (Степень этой функции равна –2, так как x² стоит в знаменателе.) Эта функция хороша для описания затухания волн и ослабления сил в зависимости от расстояния х. Например, так затихает звук по мере удаления от источника.