Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

ЧТО АБСТРАКТНАЯ АЛГЕБРА ДАЕТ НАМ

Поля Галуа создали надежный фундамент для системы кодирования, которая широко используется в различных коммерческих предложениях, особенно для CD и DVD. Всякий раз, слушая музыку или смотря видео, вы используете абстрактную алгебру.

Эти методы получили название кодов Рида – Соломона, в честь Ирвинга Рида и Густава Соломона, открывших их в 1960 г. Эти коды с исправлением ошибок, основанные на многочленах, с коэффициентами в конечных полях, применяются при кодировании данных, таких как музыка или видеосигналы. Известно, что многочлен степени n однозначно определяется своими значениями в различных точках. Идея состоит в вычислении многочлена в более чем n точках. Если здесь нет ошибок, любое подмножество из n

точек восстановит тот же самый многочлен. Если это не так, то, исходя из предположения, что количество ошибок не слишком велико, мы всё еще сможем вывести нужный многочлен.

На практике данные представлены в виде кодированных блоков с 2^m – 1 m-байтных символов в каждом, где байт – двоичный символ: 0 или 1. Чаще всего выбирается значение

m = 8, потому что многие старые компьютеры работают в байтах – последовательностях из восьми битов. Тогда число символов в блоке равно 255. Один обычный код Рида – Соломона содержит 223 байта закодированных данных в каждом 223-байтном блоке, и оставшиеся 32 байта отводятся на символы четности, в которых указано, должны ли определенные комбинации цифр в данных быть нечетными или четными. Такой код может исправлять до 16 ошибок в одном блоке.

Глава 15. Геометрия на резиновом листе

Количество переходит в качество

Все важные элементы евклидовой геометрии: прямые, углы, окружности, площади и т. д. – так или иначе связаны с измерением. Отрезок прямой имеет длину, угол – определенный размер, он может немного отличаться от прямого (90°), варьируя между 89 и 91°, окружности определяются с помощью их радиусов, площадь фигуры зависит от длины ее сторон. Скрытый элемент, благодаря которому работает геометрия Евклида в целом, – это длина, метрическая величина, которая остается неизменной при движениях и определяет евклидов эквивалент концепции движения – конгруэнтность.

Топология

Новые типы геометрии тоже оказались метрическими. В неевклидовой геометрии можно определять длину и угол, они просто имеют другие свойства, нежели длина и угол на евклидовой плоскости. С открытием проективной геометрии всё изменилось: проективные преобразования могут изменять длину, а также угол. Евклидова геометрия и два основных вида неевклидовой относительно жесткие. Проективная более гибкая, но даже здесь есть более тонкие инварианты, и в представлении Клейна это определяет геометрию как группу преобразований и соответствующих инвариантов.