Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Что же это – отверстие? Ответ найти труднее, чем кажется. Во-первых, речь идет о поверхности многогранника, а не о его сплошном внутреннем пространстве. В реальной жизни для того, чтобы сделать отверстие в чем-либо, мы внедряемся в его твердую сплошную внутренность, но приведенные выше формулы не имеют отношения к ней – только к граням, образующим его поверхность, заодно с их ребрами и вершинами. Всё, с чем мы имеем дело, лежит на поверхности. Во-вторых, единственный вид отверстий, влияющий на численные данные, – те, что пронзают тело насквозь, образуя туннель с двумя концами. Проще говоря, это не такое отверстие, которое может вырыть рабочий на дороге. В-третьих, такие отверстия могут не быть на поверхности, хотя отчасти именно поверхности очерчивают их. Отверстие существует только в качестве пустого места в бублике, но даже в этом случае вы покупаете твердую внутренность бублика.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КОШИ ДЛЯ ФОРМУЛЫ ДЕКАРТА – ЭЙЛЕРА

Удалим одну грань и растянем поверхность тела на плоскости. Это уменьшит F на 1, т. е. теперь мы доказываем, что в результате плоская конфигурация для ребер, линий и точек удовлетворяет формуле F – E + V = 1. Чтобы этого достичь, сначала преобразуем все грани в треугольники, начертив, если надо, добавочные диагонали. Каждая из новых диагоналей оставит V неизменной, но увеличит и E, и

F на 1, так что F – E + V не изменится. Теперь начнем удалять ребра начиная с наружных. Каждое из удалений уменьшает и F, и E, так что F – E + V cнова останется тем же. Когда вы закончите с удалением плоскостей, у вас останутся в случае тетраэдра три ребра и три вершины не имеющие замкнутых контуров. Одну за другой удалим крайние вершины заодно с ребрами, подходящими к ним. Теперь и E

, и F уменьшатся на 1, и cнова F – E + V остается таким же. Этот процесс остановится только на последней вершине. Теперь F = 0, E = 0 и V = 1, так что F – E +

V = 1, что и требовалось доказать.

Пример доказательства Коши

Наверное, проще исходить из определения, что значит «не отверстие». Многогранник не имеет отверстий, если его можно непрерывно деформировать, получая искривленные грани и ребра, пока он (вернее, его поверхность) не превратится в сферу. Для таких поверхностей F + V – E на самом деле всегда будет равно 2. И обратное утверждение верно: если F + V – E = 2, многогранник можно деформировать в сферу.

Непохоже, что многогранник в виде рамы для картины можно деформировать в сферу, – куда же денется отверстие? Для строгого доказательства этого мы не должны заглядывать дальше того факта, что для этого многогранника F + V – E

= 0. Такое соотношение невозможно для поверхностей, способных деформироваться в сферу. Итак, числа многогранников описывают для нас важные особенности их геометрии, и последние могут быть топологическими инвариантами – неизменными при деформациях.

Сейчас формула Эйлера кажется нам замечательным намеком на очень полезную связь между комбинаторными аспектами многогранника, такими как количество граней, и его топологическими аспектами. Получается, что проще двигаться в обратном направлении.

Чтобы вычислить количество отверстий на поверхности, возьмем F + V – E – 2, разделим на 2 и изменим знак:

g = –(F + V – E – 2)/2.

Курьезный вывод: теперь мы можем вычислить количество отверстий в многограннике, не давая определения отверстия.

Преимущество такой процедуры в том, что она естественна для многогранника, не требует визуального контакта с ним в окружающем трехмерном пространстве – того, как видят отверстие наши глаза. Необычайно разумный муравей, обитающий на поверхности многогранника, может решить, что там есть какое-то отверстие, даже если видит только поверхность. Эта естественная точка зрения присуща топологии. Она изучает форму предметов как таковую, саму по себе, а не как часть чего-то еще.