Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Самой загадочной из входящих в число исключительных простых групп и самой большой из них остается так называемый монстр. Его порядок таков:

2⁴⁶ × 3²⁰ × 5⁹ × 7

⁶ × 11² × 13³ × 17 × 19 × 23 × 29 × 31 × 41 × 47 × 59 × 71,

что равно

808017424794512875886459904961710757005754368000000000,

это приблизительно 8 × 10⁵³. Существование монстра предположили в 1973 г. Бернд Фишер и Роберт Грисс. В 1980 г. Грисс доказал, что он существует, и построил его алгебраическую конструкцию как группу симметрии алгебры с 196 884 измерениями. Этот монстр, судя по всему, имеет неожиданные связи с теорией чисел и комплексным анализом, сформулированные Джоном Конвеем как «гипотеза чудовищного вздора». Гипотеза была доказана в 1992 г. Ричардом Борчердсом, за что он получил Филдсовскую медаль – самую престижную награду для математика.

Великая теорема Ферма

Применение алгебраических числовых полей к теории чисел стремительно развивалось во второй половине ХХ в., причем возникало всё больше связей с прочими областями математики, включая теорию Галуа и алгебраическую топологию. Кульминацией этой работы стало доказательство Великой теоремы Ферма почти через 350 лет после ее первого упоминания.

Идея, обеспечившая возможность решения этой задачи, пришла из прекрасной области, заключенной в самом сердце современных трудов по диофантовым уравнениям, – теории эллиптических кривых. Это те кривые, у которых полный квадрат равен кубическому многочлену, и они представляют ту область уравнений Диофанта, которая понятна математикам. Однако сам предмет не лишен своих нерешенных проблем. Самой значительной остается гипотеза Таниямы – Вейля, названная в честь Ютаки Таниямы и Андре Вейля. Она гласит, что любую эллиптическую кривую можно описать в терминах модулярных функций – обобщений тригонометрических функций, в частности изучавшихся Клейном.

ЧТО АБСТРАКТНАЯ АЛГЕБРА ДАЛА ИМ

В своем труде «Исследование законов мышления», опубликованном в 1854 г., Джордж Буль показал, что алгебра применима к логике, и в результате открыл то, что сейчас называется булевой алгеброй.

Я могу дать лишь набросок высказанных Булем идей. Самыми важными логическими операциями являются не, и, или. Если утверждение S истинно, то утверждение «не S» ложно, и наоборот. Утверждение «S и

T» будет истинно тогда и только тогда, когда оба утверждения, S и T, истинны. Утверждение «S или T» истинно, когда истинны либо S, либо T, либо они оба одновременно. Буль обратил внимание на то, что если вместо Т мы поставим 1, а вместо S – 0, алгебра этих логических операций будет очень напоминать обычную, если мы примем, что 0 и 1 – целые числа по модулю 2; тогда 1 + 1 = 0 и – S по абсолютной величине равно S. Тогда «не S» есть 1 + S, «S и Т» есть ST и «S или T» есть S + T + ST. Сумма S + T соответствует исключающему или (xor на языке компьютерщиков). «S xor T» истинно при условии, что истинно либо T, либо S, но не оба одновременно. Буль открыл, что его курьезная алгебра логики полностью самосогласована, если вы запомните ее немного странные правила и будете использовать их систематически. Это был один из первых шагов в сторону формальной теории математической логики.