Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Любая ошибка переведет их в кодовые слова на двух других углах – не являющиеся действительными (их мы изначально не включили в код) кодовыми словами. Но поскольку эти углы смежны с обоими настоящими кодовыми словами, разные ошибки могут привести к одному результату. Чтобы получить код, исправляющий ошибки, мы можем использовать кодовые слова длиной 3 и закодировать 0 как 000, а 1 как 111. Теперь кодовые слова находятся по углам куба в трехмерном пространстве. Любая единичная ошибка приведет в результате к соседнему кодовому слову; более того, каждое недействительное кодовое слово соседствует только с одним действительным: 000 или 111.

Такой подход к кодированию цифровых посланий первым предложил Ричард Хэмминг в 1947 г. Геометрическая интерпретация идеи появилась очень скоро, и это стало решающим толчком к развитию еще более эффективных кодов.

Глава 17. Форма логики

Подведение под математику непоколебимого фундамента

Наблюдая за непрерывным ростом науки, некоторые из математиков начали удивляться: где же надежный фундамент, поддерживающий вес этих знаний? Ряд серьезных научных кризисов – особенно дискуссия об основных понятиях исчисления и треволнения вокруг рядов Фурье – показали, что во избежание логических ловушек всякая математическая концепция должна иметь аккуратное и четкое определение. Иначе возведенная над нею башня выводов и заключений может легко рухнуть под ударом логических противоречий из-за неопределенности или двусмысленности.

Сперва такие тревоги касались лишь самых сложных и изощренных идей, таких как ряды Фурье. Но математический мир постепенно понял, что под подозрением может оказаться любая основная идея. И главной среди них была идея числа. Ужасная правда заключалась в том, что математики, положившие столько усилий на глубочайшие исследования свойств чисел, не потрудились ни разу задаться вопросом, что же такое число. И когда дело дошло до логичного определения, они не смогли его сформулировать.

Дедекинд

В 1858 г., читая лекции по исчислению, Дедекинд задался вопросом о самой основе своей темы. Его интересовал не вопрос использования пределов, а сама система действительных чисел. Он опубликовал свои идеи в 1872 г. в труде «Непрерывность и иррациональные числа», указав, что вроде бы явные качества действительных чисел никогда не были доказаны сколько-нибудь строгим образом. В пример он привел уравнение √2√3 = √6. Явно оно вытекает из возведения в квадрат обеих сторон равенства. Вот только умножение для иррациональных чисел никогда не было определено. В 1888 г. в своей книге «Что такое числа и для чего они служат?» ученый отметил ряд серьезных пробелов в логическом обосновании системы действительных чисел. Собственно говоря, никто даже не доказал, что такие числа существуют.