Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

В XX и начале ХХI в. математика развивалась взрывными темпами. За последние 100 лет в ней было сделано больше открытий, чем за всю предыдущую историю человечества. Даже для краткого их перечисления потребуются тысячи страниц, так что придется выбирать лишь некоторые примеры из обилия доступных сведений.

Одна из самых юных областей математики – теория вероятностей, изучающая возможности появления случайных событий. Это математика неопределенности. Первые робкие шаги делались на протяжении долгих веков: это и попытки вычислить с помощью комбинаторики шансы выигрыша в азартных играх, и методы повышения точности астрономических наблюдений, несмотря на ошибки наблюдателей, но только к началу XX в. теория вероятностей приобрела статус самостоятельной науки.

Вероятность и статистика

В настоящее время теория вероятностей – обширнейшая область математики, и ее прикладная ветвь, статистика, оказывает важное влияние на повседневную жизнь – возможно, более значительное, чем любой из прочих основных разделов математики. Статистика стала одним из главных аналитических методов даже в медицине. Ни одно лекарственное средство не допускается на рынок и ни один метод лечения не разрешается в больнице, пока клинические испытания не докажут их полную безопасность и эффективность. Здесь безопасность относительна: лечение может быть предложено больным, страдающим от смертельно опасного недуга, когда шансы на успех слишком малы, но не в менее тяжелых случаях.

Также теория вероятностей чаще всех прочих областей математики страдает от неверного толкования и искажений. Но ее точное и разумное применение приносит человечеству неоценимую пользу.

Игра случая

Некоторые вопросы из теории вероятностей уходят корнями в Античность. Из Средних веков до нас дошли записи дискуссий о шансе выбросить различные числа на двух игральных костях. Чтобы лучше представить себе, как это работает, начнем с одной кости. Предположим, она не доработана[8]

 – что очень трудно доказать – и на ней шесть чисел: 1, 2, 3, 4, 5 и 6, которые выпадают одинаково часто в конечном счете при длительной игре. В короткой игре такое равноправие невозможно: первый бросок, например, даст в результате только одно из чисел. Даже после шести бросков вы, скорее всего, не получите по одному разу каждое из чисел. Но в длинных сериях бросков, или попыток, мы вправе ожидать появления каждого числа примерно в каждом шестом броске, т. е. вероятность равна ¹/₆. Если этого не происходит, то у кости, вероятно, смещен центр тяжести.

Событие с вероятностью 1 достоверно, а с вероятностью 0 – невозможно. Все вероятности лежат между 0 и 1, и вероятность события обозначает долю в числе попыток, с которой происходит данное событие.

Вернемся к вопросу из Средних веков. Предположим, мы одновременно бросаем два кубика (как во многих играх – от костей до «Монополии»). Какова вероятность того, что сумма очков на них равна 5? По результатам вычислений с огромным числом аргументов и даже нескольких экспериментов получено число ¹/₉. Почему? Предположим, мы взяли две кости, красную и синюю. На каждой из них может независимо выпасть шесть разных чисел, итого получаем 36 возможных пар, и все с одинаковой вероятностью. Сочетания (красная + синяя), дающие 5, – 1 + 4, 2 + 3, 3 + 2, 4 + 1; это отдельные случаи, поскольку синяя кость выдает разные числа при каждом броске, как и красная. Значит, при большом количестве бросков мы ожидаем получить сумму, равную 5, в четырех случаях из 36: вероятность равна 4/36 = ¹/₉

.

Другая давняя практическая проблема – как поделить ставки в азартной игре, если она по какой-то причине прервалась. Алгебраисты Возрождения Пачоли, Кардано и Тарталья оставили записи по этому вопросу. Позже шевалье де Мере задал тот же вопрос Паскалю, и тот обменялся с Ферма несколькими письмами на эту тему.

Из этих ранних работ следовал неявный вывод, какова вероятность и как ее подсчитать. Но всё это выглядело неопределенно и неубедительно.

Сочетания