Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Другая базовая теорема может быть рассмотрена для случая повторных бросков бракованной (смещенной) монеты с вероятностью p для выпадения орла и q = 1 – p для выпадения решки. Если монету бросить дважды, какова будет вероятность того, что орел выпадет 2, 1 или 0 раз? Ответ Бернулли был p², 2pq и q². Таковы результаты при разложении выражения (p + q)² в p² + 2pq

+ q². А если монету бросить три раза, вероятность того, что орел выпадет 3, 2, 1 или 0 раз, равна последовательности множителей в выражении (p + q)³ = p³ + 3p²q + 3q²p + q

³.

В более общем виде, если монету бросить n раз, вероятность выпадения орла m раз будет равна:

т. е. соответствующему члену в разложении (p + q)ⁿ.

В 1730–1738 гг. Абрахам де Муавр продолжил опыты Бернулли со смещенной монетой. Когда m и n достаточно велики, трудно точно вычислить биномиальный коэффициент, и де Муавр вывел приблизительную формулу, соответствующую биномиальному распределению Бернулли, которое сейчас мы называем функцией ошибок или нормальным распределением:

Де Муавр заслуженно считается первым математиком, явно показавшим эту связь. Это стало краеугольным камнем в развитии как теории вероятностей, так и статистики.

Определение вероятности

Основной проблемой теории вероятностей оставалось определение вероятности. Даже самые простые задачи – на которые все знают ответ – были чреваты логическими затруднениями. Если мы бросаем монету, то в длительном периоде ожидаем равного числа выпадений орлов и решек, и вероятность для каждого варианта равна ¹/₂.

Естественно, для такой вероятности монета должна быть «честной». Поврежденная может всё время выпадать орлом. Но что значит «честной»? Прежде всего, что орел и решка равновозможны. Но само выражение «равновозможны» подразумевает вероятность. Логика кажется круговой. Чтобы вычислить вероятность, нужно знать, что она собой представляет.

Чтобы выйти из этого тупика, придется вернуться к Евклиду, вдохновившему алгебраистов XIX и XX вв. Аксиомы. Хватит тревожиться о том, что такое вероятность. Запишите свойства, которыми, по вашему мнению, она должна обладать, и представьте их в виде аксиом. А потом выводите из них всё остальное.

Тогда возникает вопрос: что такое правильные аксиомы? Когда вероятность определяется по конечному множеству событий, ответить на него несложно. Однако применение теории вероятностей часто относится к потенциально бесконечному множеству возможностей. Скажем, если вы измерите угол между двумя звездами, то он будет равен некоему действительному числу между 0 и 180°. Но там бесконечно много действительных чисел. Если вы метаете дротик в доску долгое время с равным шансом попасть в любую точку на ней, то вероятность попасть в конкретную область будет равна площади этой области, деленной на общую площадь доски. Но на доске для дротиков имеется бесконечно много точек, а значит, бесконечно много областей.

Эти трудности рождали все виды проблем и парадоксов. И наконец их удалось решить новой идеей анализа – понятием меры.

Специалисты по математическому анализу, работавшие над теорией интегралов, сочли необходимым пойти дальше Ньютона и дать определение еще более сложным понятиям: что представляет собой интегрируемая функция и каков ее интеграл. После ряда попыток многих предшественников Анри Лебегу удалось определить самый общий тип интеграла, сейчас известный как интеграл Лебега, со многими приятными и полезными аналитическими свойствами.

Ключом к его определению стала мера Лебега, которая представляет собой способ применить концепцию длины к весьма сложным подмножествам вещественной прямой. Предположим, множество состоит из непересекающихся интервалов с длинами 1, ¹/₂, ¹/₄

, ¹/₈ и т. д. Эти числа образуют сходящийся ряд с суммой 2. Здесь Лебег утверждал, что это множество имеет меру 2. В его идее обнаруживается элемент новизны: она была счетно-аддитивной. Если вы сложите бесконечный набор непересекающихся множеств и если он счетен в канторовском смысле, с кардинальным числом א₀, мера всего множества равна сумме бесконечного ряда, образованного мерами отдельных множеств.

Во многих смыслах идея меры оказалась важнее, чем интеграл, к которому она привела. В частности, вероятность и есть та же мера. На данное свойство указал в 1930-х гг. Андрей Колмогоров, составивший аксиомы для вероятностей. Точнее, он определил вероятностное пространство. В него включено множество X, набор B подмножеств X, именуемых случайными событиями, и мера m для B. Аксиомы утверждают, что m – мера и что m(X) = 1 (т. е. вероятность того, что что-то случится, всегда равна 1). Набор B также должен обладать теоретико-множественными свойствами, чтобы поддерживать понятие меры.