Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

График функции f(x) = x² оказывается параболой. График функции квадратного корня f(x

) = √x образует половину параболы, которая «лежит на боку». Чем сложнее функция, тем сложнее описывающее ее уравнение. График функции синуса с уравнением y = sin x – волнообразная кривая.

График функции f

Геометрия координат сегодня

Координаты – одна из тех простых идей, которые заметно изменили нашу жизнь. Мы используем их повсеместно, как правило, не отдавая себе в этом отчета. По сути, все графики в компьютере используют внутреннюю систему координат, а геометрия, демонстрируемая на экране, задана алгеброй. Даже такая простая операция, как поворот фотографии на несколько градусов, чтобы выровнять линию горизонта, основана на геометрии координат.

Графики квадратичной функции и функции квадратного корня

Еще более важное послание от геометрии координат связано с перекрестными связями в математике. Концепция, чья физическая реализация выглядит совершенно иной, может оказаться просто иным аспектом одного и того же объекта. Первое впечатление порой обманчиво. Математика оказалась настолько эффективной во многом потому, что стала способом взглянуть на привычные явления с точки зрения их восприимчивости к новым идеям, переходящим из одной области науки в другую. Математика незаменима для обмена технологиями. И именно перекрестные связи, впервые открытые еще 4000 лет назад, сделали математику таким всеобъемлющим, уникальным предметом.

График функции синус

ЧТО КООРДИНАТЫ ДАЛИ ИМ

Геометрия координат может применяться на поверхностях более сложных, чем плоскость, например на сфере. Нам хорошо знакома такая система координат на ней, как долгота и широта. Вся картография, а также использование карт в навигации могут рассматриваться как практическое приложение геометрии координат.

Для капитанов главной проблемой навигации было определение широты и долготы, на которых оказался их корабль. С широтой обстояло немного проще: угол подъема солнца над горизонтом зависит от нее и может быть подсчитан. С 1730 г. стандартным инструментом для определения широты был секстант (в наши дни практически вытесненный из обихода системой GPS). Его изобрел Ньютон, но не опубликовал свое открытие. И его самостоятельно заново открыли двое: английский математик Джон Хэдли и американский изобретатель Томас Годфри. До той поры мореходы пользовались только астролябией, которая восходит к арабскому Средневековью.

Долгота и широта в качестве координат

Долгота – более коварная координата. Но проблему в итоге удалось решить при помощи высокоточных часов, выставленных на местное время в начале плавания. Время восхода и захода солнца, а также движение луны и звезд, зависящие от долготы, позволяли определить ее путем сравнения местного времени и того, что показывают часы. История изобретения Джоном Харрисоном хронометра, решившего проблему, изложена в известной книге Давы Собел «Долгота».

ЧТО КООРДИНАТЫ ДАЮТ НАМ

Мы по-прежнему используем координаты на картах, но еще одним примером активного применения стали графики колебаний цен на рынке ценных бумаг, где все изменения изображаются в виде кривой. Здесь по оси х отложено время, а по оси у – цена. Трудно перечислить все виды финансовых и научных данных, отображаемых таким способом.