Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Ответ на этот вопрос лежит в области простых чисел. Если p и q – простые числа, когда q является квадратом по mod p? Гаусс открыл, что если нет способа просто и прямо ответить на этот вопрос, то можно задать другой, имеющий прямое отношение к предыдущему: когда p является квадратом по mod

q? Например, приведенный выше перечень квадратичных вычетов показывает, что q = 5 является квадратом по модулю p ≡ 11. Также верно и то, что 11 является квадратным модулем 5, потому что 11 ≡ 1 (mod 5) и 1 ≡ 1². В общем, ответ на оба вопроса один.

Гаусс доказал, что его квадратичный закон взаимности справедлив для любой пары случайно взятых нечетных простых чисел, за исключением тех вариантов, когда оба можно описать как 4k – 1. Тогда на два вопроса есть два противоположных ответа. Например: для любых случайно взятых простых чисел p

и q второе число есть квадрат по mod p тогда и только тогда, когда p есть квадрат по mod q, в случае, если p и

q не описываются формулой 4k – 1. Иначе q есть квадрат по mod p тогда и только тогда, когда p не есть квадрат по mod q

.

Поначалу Гаусс не подозревал, что это не первое утверждение такого рода: Эйлер уже успел отметить ту же зависимость. Но, в отличие от Эйлера, Гаусс сумел доказать, что оно всегда верно. Доказательство оказалось крайне сложным, и у Гаусса ушло несколько лет на то, чтобы ликвидировать эту небольшую, но ключевую брешь.

ЧТО ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ ДАЛА ИМ

Одним из самых ранних применений теории чисел являются шестерни. Если два зубчатых колеса помещены так близко, что зубцы одного входят между зубцами другого, причем у одного m, а у другого n зубцов, то их совместное движение будет зависеть от этих чисел. Например, пусть у одного колеса 30 зубцов, а у другого семь. Если большое колесо совершит ровно один полный поворот, что будет с меньшим? Оно будет возвращаться в исходную позицию после 7, 14, 21 и 28 шагов. Тогда ему потребуются еще два завершающих шага до полных тридцати. Это число – остаток, который получается при делении 30 на 7. Значит, движение колес является механическим воплощением примера на деление с остатком, это и есть основа модульной арифметики.

Антикитерский механизм и его реконструкция