Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

ЧТО КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДАЛИ ИМ

Действительные и мнимые части комплексной функции должны удовлетворять условиям Коши – Римана, что тесно связано с применением ДУЧП для гравитации, электричества, магнетизма и некоторых видов гидродинамики на плоскости. Это условие позволяет решать многие уравнения в математической физике – но только для двумерных систем.

Магнитное поле вокруг магнитного стержня, «увидеть» которое помогают железные опилки: комплексный анализ может быть использован при расчете таких полей

Математики привыкли пользоваться функциями, которые могут иметь несколько разных значений, и квадратный корень остается самым очевидным примером: здесь даже действительное число имеет два разных корня, положительный и отрицательный. Но бесконечно много

значений? Это действительно странно.

Интегральная теорема Коши

Большой переполох в этой области учинило открытие, что вы можете заниматься исчислением – комплексным анализом – с комплексными функциями, а полученная в результате теория элегантна и полезна. Настолько полезна, что само логическое обоснование данной идеи перестало волновать кого бы то ни было. Когда что-то работает и вы понимаете, что без этого не обойтись, вы обычно не особо задаетесь вопросом, почему так получилось.

Два разных пути P и Q

от –1 до 1 на комплексной плоскости

Использование комплексного анализа, судя по всему, стало осознанным выбором математического сообщества: это обобщение столь явное и убедительное, что любой математик, наделенный здравым смыслом, захотел бы увидеть, к чему это приведет. В 1811 г. Гаусс пишет письмо своему другу астроному Фридриху Бесселю, излагая свой подход к комплексным числам как к точкам на плоскости. Также он упоминает о некоторых глубинных результатах. Среди них – базовая теорема, заложившая фундамент комплексного анализа в целом. Сегодня она известна нам как интегральная теорема Коши, хотя Гаусс сформулировал ее гораздо раньше в своих неопубликованных работах.

ОГЮСТЕН ЛУИ КОШИ 1789–1857