Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Огюстен Луи Коши родился в Париже в самый разгар политических неурядиц. Друзьями его семьи были Лаплас и Лагранж, так что Коши с детских лет был знаком с миром высшей математики. Он поступил в Политехническую школу и закончил ее в 1807 г. В 1810 г. его пригласили работать инженером в Шербуре. Здесь он участвовал в подготовке планов вторжения Наполеона в Англию, но не оставил надежду заняться математикой и старательно штудировал «Небесную механику» Лапласа и «Теорию аналитических функций» Лагранжа. Несмотря на неудачные попытки получить академическую должность, Коши продолжил исследования в математике. Его знаменитая статья по интегрированию комплексных функций, давшая основу всему комплексному анализу, появилась в 1814 г. и наконец привела его к заветной цели: через год ему досталось место доцента по математическому анализу в Политехнической школе. Талантливый математик Коши опубликовал статью о волнах, принесшую ему в 1816 г. премию Академии наук. Он продолжил исследования в области комплексного анализа, и в 1829 г. в своем труде «Краткое изложение уроков о дифференциальном и интегральном исчислении» дал первое явное определение комплексной функции.

После революции 1830 г. Коши ненадолго эмигрировал в Швейцарию, а в 1831 г. стал профессором теоретической физики в Турине. Как преподаватель он проявил себя крайне неорганизованным. В 1833 г. он перебрался в Прагу, став преподавателем у внука Карла X. Однако принцу были одинаково противны как математика, так и физика, отчего Коши часто выходил из себя. Ученый вернулся в Париж в 1838 г., восстановился в качестве преподавателя в Академии, но не хотел преподавать, пока в 1848 г. не был низложен Луи-Филипп I. За свою научную карьеру Коши успел опубликовать 789 блестящих работ по математике.

Эта теорема касается определенных интегралов от комплексных функций, т. е. выражения:

где a и b – комплексные числа. В вещественном анализе это выражение можно оценить, найдя первообразную

F(z) для f(z), т. е. такую функцию F(z), чтобы ее производная dF(z

)/dz = f(z). Тогда определенный интеграл равен F(b) – F(a). В данном случае его величина зависит только от конечных точек

a и b, а не от того, как вы движетесь от одной к другой.

В комплексном анализе, по словам Гаусса, всё иначе. Здесь величина интеграла может зависеть от пути, по которому переменная z движется от точки a к точке b. Поскольку комплексные числа формируют плоскость, их геометрия гораздо богаче, чем у вещественной прямой, и здесь очень важны дополнительные характеристики.

Например, представим, что вы интегрируете f(z) = 1/z

от a = –1 до b = 1. Если упомянутый путь представляет собой полуокружность P, расположенную выше вещественной оси, то интеграл получается равным –πi. Но если путь представляет собой полуокружность Q, расположенную ниже вещественной оси, интеграл будет равен πi. Это две разные величины, и разница между ними равна 2πi.