Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

ЧТО КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДАЮТ НАМ

В наши дни комплексные числа широко применяются и в физике, и в инженерии. Простой пример – изучение колебаний – периодически повторяющихся движений. Вспомним колебания здания во время землетрясения, вибрации в движущемся автомобиле или передачу по проводам переменного тока.

Простейший и основной вид колебаний описывается выражением a cos ωt, где t

 – время, a – амплитуда колебаний, а ω – их частота. Удобно преобразовать эту формулу как действительную часть комплексной функции eⁱ

^ωt. Использование комплексных чисел упрощает подсчеты, поскольку экспонента проще косинуса. Поэтому инженеры, изучающие колебания, предпочитают работать с комплексными экспонентами и обращаются к их действительной части только в самом конце вычислений.

Комплексные числа также определяют устойчивость стационарных состояний динамических систем и широко применяются в теории управления. Это отрасль науки, посвященная методам стабилизации систем, иначе остающихся нестабильными. Пример – использование контролируемых компьютером подвижных управляемых панелей, стабилизирующих в полете положение космического шаттла. Без такого приложения комплексного анализа шаттлы попадали бы с неба, как кирпичи.

Геометрически действительные числа образуют прямую, а комплексные – плоскость, причем вещественная прямая является одной из двух осей на этой плоскости. Алгебраически комплексное число – просто пара действительных чисел со своими формулами для выполнения над ними действий сложения или умножения.

В наши дни признанные полноправными комплексные числа быстро распространяются среди математиков, потому что значительно упрощают подсчеты, избавляя от необходимости отдельно рассматривать положительные и отрицательные числа. Сегодня комплексные числа наряду с исчислением комплексных функций постоянно применяются как привычный инструмент почти во всех отраслях технических наук.

Глава 11. Прочные основы

Что заставило ученых обратиться к исчислению