Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

ЧТО НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ ДАЕТ НАМ

Какова форма Вселенной? Вопрос может показаться простым, но ответить на него нелегко – отчасти из-за огромности Вселенной, но главным образом из-за того, что мы внутри и не имеем возможности кинуть взгляд со стороны. По аналогии, снова восходящей к Гауссу, муравей, живущий на некой поверхности и созерцающий мир только с нее, не сумеет уверенно сказать, является ли она плоскостью, сферой, тором или еще более сложной фигурой.

Теория относительности говорит нам, что вблизи от материального тела, такого как звезда, пространство-время искривляется. Уравнения Эйнштейна, демонстрирующие зависимость кривизны от плотности материи, имеют много разных решений. В самом простом из них Вселенная в целом имеет положительную кривизну и топологию сферы. Но, насколько мы можем судить, общая кривизна реально существующей Вселенной бывает и отрицательной.

Пространства с положительной, отрицательной и нулевой кривизной

Мы даже не уверены, простирается ли Вселенная бесконечно, как евклидово пространство, или имеет конечный размер, как сфера. Некоторые физики настаивают, что Вселенная бесконечна, однако экспериментальная основа этой идеи вызывает много вопросов. И большинство все-таки считает ее размеры конечными.

Удивительно, что конечная Вселенная может существовать, не имея границы. Это справедливо для двумерной поверхности сферы и для тора. Тор может быть описан плоскостной геометрией (планиметрией), ведь он наследник прямоугольника, у которого склеены противоположные стороны. Топологи также открыли, что пространство может быть конечным и в то же время иметь отрицательную кривизну. Один из способов построения такого пространства: берем конечный многогранник в гиперболическом пространстве и отождествляем различные его грани, так что линия, выходящая из одной грани многогранника, тут же входит в другую грань. Эта конструкция напоминает то, как меняются местами верхний и нижний края экрана во многих компьютерных играх.

Чтобы получить додекаэдрическое пространство Пуанкаре, нужно склеить противоположные грани додекаэдра с разворотом, чтобы они совпали