В поисках кота Шредингера. Квантовая физика и реальность

Рис. 6.2. «Состояние» каждой из клеток шахматной доски определяется шахматной фигурой, которая занимает эту клетку. На этом рисунке пешка обозначена как 1, ладья – как 2 и так далее. Положительные числа – это белые фигуры, отрицательные – черные. Изменение состояния всей доски можно описать фразой вроде «пешка на четверку ферзя» или алгебраическим выражением е2 – е4. Квантовые переходы описываются таким же выражением, связывающим парные (начальное и конечное) состояния. Ни в том, ни в другом случае мы не получаем никакой информации о том, как именно происходит переход из одного состояния в другое, – взгляните хотя бы на движение коня по доске или на рокировку. Продолжая аналогию с шахматами, мы можем представить минимально возможное изменение на доске, е2 – е3, соответствующим добавлению одного кванта энергии

hv, в то время как «переход» е3 – е2 будет соответствовать испусканию такого же кванта энергии. Аналогия эта неточна, но она показывает, как по-разному можно передать на письме одно и то же событие. Гейзенберг, Дирак и Шрёдингер таким же образом обнаружили различные формы математической записи для описания одних и тех же квантовых событий.

Борну статья понравилась, и он отправил ее в Zeitschrift für Physik, практически немедленно осознав, на что натолкнулся Гейзенберг. Математические расчеты, в которых задействованы два состояния атома, невозможно проводить с обычными числами – для них необходимы массивы чисел, которые Гейзенберг представил в форме таблиц. Здесь лучше всего провести аналогию с шахматной доской. На доске 64 клетки, то есть каждую из них можно обозначить числом от 1 до 64. Однако шахматисты предпочитают использовать другую схему, обозначая «столбцы» клеток буквами а, b, с, d, е, f, g, h, а «строки» – цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Таким образом каждая из клеток на доске может быть обозначена уникальной парой идентификаторов: а1 – это начальная клетка ладьи, g2 – начальная клетка коневой пешки и так далее. Таблицы Гейзенберга, как шахматная доска, представляли собой двумерные массивы чисел, поскольку его расчеты были основаны на двух состояниях атомов и их взаимодействии. Эти расчеты предполагали, помимо прочего, перемножение двух таких наборов чисел, или массивов, и Гейзенберг старательно определил верные математические способы для этого. Но результат получился очень любопытным и столь загадочным, что он стал одной из причин, по которым Гейзенберг сомневался, стоит ли публиковать свои расчеты. При перемножении массивов получается «ответ», который зависит от того, в каком порядке осуществляется перемножение.

Это очень странно. Это все равно что сказать, что 2 × 3 не равняется 3 × 2, или, говоря алгебраически, a × b ≠ b × a

. Борн день и ночь размышлял об этой особенности, уверенный, что за ней скрывалось что-то фундаментальное. Неожиданно его озарило. Математические массивы и таблицы чисел, столь усердно составленные Гейзенбергом, уже были известны в математике. Существовали все расчеты для таких чисел – они назывались матрицами, и Борн изучал их в самом начале XX века, когда учился в Бреслау. Неудивительно, что более двадцати лет спустя он вспомнил об этой туманной ветви математической науки, ведь матрицы обладают одним свойством, которое всегда производит неизгладимое впечатление на студентов, впервые сталкивающихся с ними: получаемый при перемножении матриц результат зависит от порядка, в котором осуществляется перемножение, или, говоря математическим языком, матрицы не коммутируют.

Квантовая математика