Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

Так же ясно, что для каждой точки отрезка CD можно найти соответствующую ей точку отрезка АВ. Для этого нужно всего лишь провести прямую, соединяющую точку на отрезке CD с вершиной треугольника, и найти точку ее пересечения с отрезком AB. Это дает сюръективное соответствие.

Поскольку нам удалось образовать пары из всех точек двух отрезков разной длины, значит, они должны иметь одинаковую мощность – следовательно, мощность континуума, то есть ℵ.

А вот утверждение, которое может показаться еще более странным. Можно (сходным образом) доказать, что мощность любого отрезка прямой равна мощности бесконечного луча. Приведенный ниже чертеж иллюстрирует эту идею в самом общем виде. Если вы внимательно посмотрите на нее, то, я уверен, сообразите, как построить соответствие между конечным отрезком и бесконечным лучом.

Это означает, что и отрезок прямой длиной один миллиметр, и отрезок прямой длиной миллиард километров, и даже бесконечный отрезок прямой содержат равное «количество» точек. Этот результат может показаться менее удивительным, если вспомнить, что у точки на самом деле нет ни длины, ни площади, ни объема. Зенон спросил бы, как эти «бездлинные» точки могут образовывать прямую длиной 107 «чего-нибудь» или даже бесконечный луч.

Если отойти от простых прямых, лучей и отрезков, Кантор доказал также, что существует одно-однозначное и сюръективное соответствие между точками отрезка прямой и точками квадрата или куба!

Что еще удивительнее и невероятнее, Кантор доказал существование одно-однозначного и сюръективного соответствия между бесконечной прямой и n-мерным пространством (для любого n!).

Открою вам секрет: это открытие оказалось чрезмерно радикальным даже для самого Кантора. Вот как он отозвался о нем: «Je le vois, mais je ne le crois pas!» – «Вижу, но не верю!»

Сменим тему

Возможно, вы помните, что, дав выше определение алгебраических чисел, я отметил, что числа, не относящиеся к алгебраическим, называются трансцендентными. Исходя из нашего открытия, что мощность множества вещественных чисел выше мощности множества чисел алгебраических, по-видимому, можно предсказать, что трансцендентные числа существуют, то есть что имеются числа, не являющиеся корнями выражений типа

Но где они? Хотя концепция трансцендентных чисел существует уже давно, вплоть до XIX в. никто не мог с уверенностью сказать, что «видел» такое число.

Доказательство существования таких чисел дал не Георг Кантор. Оно было получено в 1844 г. выдающимся французским математиком Жозефом Лиувиллем. Однако Кантор развил результаты Лиувилля, показав, что трансцендентные числа составляют большинство всех чисел. Другими словами, числа в большинстве своем не только не рациональны; по большей части числа даже не относятся к алгебраическим.

ТЕОРЕМА

Множество трансцендентных чисел несчетно.

Доказательство. Множество всех вещественных чисел можно разбить на два непересекающихся множества – множество алгебраических чисел и множество трансцендентных чисел. Слово «непересекающиеся» означает, что ни один элемент не может принадлежать обоим множествам.

Обозначим множество алгебраических чисел буквой А, трансцендентных – буквой Т, а вещественных – буквой R.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Объединение двух множеств А и В, обозначаемое A∪B, есть множество элементов, содержащихся в множестве А, в множестве В или в обоих множествах А и В.

Объединение множеств А и Т есть множество всех вещественных чисел R. Следовательно, можно написать R = A∪T.

А теперь приготовьтесь к поворотному моменту этой истории. Поскольку мощность R, множества всех вещественных чисел, равна А, можно предположить, что множество Т должно быть несчетным (или меньше).

Утверждение о том, что множество трансцендентных чисел Т должно быть несчетным, вытекает из того факта, что объединение двух счетных множеств всегда дает еще одно счетное множество.

Если бы оба множества А и Т были счетными – то есть счетными были бы и множество алгебраических чисел, и множество трансцендентных чисел, – то их элементы можно было бы упорядочить: A = (a₁, a₂, a₃…) и T = (t₁, t₂, t₃…). Следовательно, их объединение T∪A тоже было бы счетным, так как его элементы можно было бы упорядочить следующим образом:

Но, как мы знаем, множество R несчетно. Поскольку нам известно, что множество А счетно (см. раздел под названием «Каникулы алгебраических чисел в отеле Гильберта»), а T∪A = R, множество Т никак не может быть счетным.

Что же, если количество трансцендентных чисел так велико, что они образуют несчетное множество, казалось бы, найти пример трансцендентного числа должно быть совсем не трудно. Да что там, математики должны то и дело на них натыкаться.

Но так ли это? На самом деле нет. Даже к нынешнему моменту выявлено очень немного трансцендентных чисел.