Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

Давайте попробуем. Может быть, трансцендентно число (√2 + ϕ)? Ничего подобного. Это число оказывается алгебраическим: можете попытаться составить алгебраическое (полиномиальное) уравнение (с целыми коэффициентами), решением которого оно является. Собственно говоря, готов поспорить, что вы не сможете найти ни одного неалгебраического числа.

Что же получается? Мы доказали, что количество трансцендентных чисел не просто бесконечно, но и несчетно. Проблема состоит в том, что это доказательство существования, а не конструктивное доказательство. Другими словами, хотя это доказательство может убедить нас в существовании бесконечно многих трансцендентных чисел (что вытекает из мощности континуума), оно не дает ни малейшей подсказки относительно того, как найти хотя бы одно такое число.

Как мы уже сказали, в 1844 г. Лиувилль открыл одно трансцендентное число. Вот оно:

Вам может быть не вполне ясно, что именно это за число; позвольте мне объяснить.

Число Лиувилля строится следующим образом:

Шаг 1. Вычисляем все факториалы: 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120…

Шаг 2. Составляем число, в котором после запятой встречаются только нули и единицы, причем 1 стоит на 1-м, 2-м, 6-м, 24-м, 120-м – и так далее – местах, а на всех остальных местах стоит 0.

Лиувилль доказал, что это число не является корнем какого бы то ни было алгебраического уравнения с целыми коэффициентами.

Как вы можете вообразить, это доказательство не слишком просто, так что вам придется поверить мне (и Лиувиллю) на слово – это действительно так.

Посмотрите на следующее число: 3,140001000000000000000005… сформированное сходным образом. Это число получено из десятичного представления числа π, в котором все цифры после запятой, кроме 1-й, 2-й, 6-й, 24-й, 120-й и так далее (их номера соответствуют 1! 2! 3!..), заменены нулями. На упомянутых же местах стоят последовательные цифры числа π.

Поскольку π =3,141592653589793… на 24-м месте оказывается цифра 5, на 120-м месте – цифра 9, на 720-м – цифра 2 и так далее.

Математики могут доказать, что это число также трансцендентно (а вам снова придется поверить, что они знают свое дело).

А как обстоит дело с самим π? Трансцендентно ли это число?

π: Я не рационально!

Вы не можете угадать, как я себя поведу…

Тот факт, что число π иррационально (то есть не существует такой дроби a/b, которая давала бы значение π), отметил – но не доказал – еще персидский математик, астроном и географ IX в. Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми (в латинской транскрипции его имя передавалось как Algoritmi, и от него произошло слово «алгоритм»). Он был заметной фигурой знаменитого «Дома мудрости» в Багдаде в эпоху наивысшего расцвета исламской культуры. Ему принадлежит множество чрезвычайно важных достижений в области алгебры; более того, само слово «алгебра» происходит от сочетания «аль-джебр», взятого из названия фундаментального труда по этой науке, который аль-Хорезми написал около 820 г.[52].

Маймонид также верил в иррациональность π, но не доказал его. Строгое доказательство получил только в 1768 г. швейцарский математик (Эйлер был не единственным швейцарским математиком!) Иоганн Генрих Ламберт.

Доказательство иррациональности числа π сравнительно просто; доказать же, что π – число трансцендентное, оказалось чрезвычайно трудно. Прошло еще более 100 лет, прежде чем немецкий математик Фердинанд фон Линдеман доказал в 1882 г., что π трансцендентно, то есть не является корнем какого-либо многочлена с целочисленными коэффициентами.

За несколько лет до этого, в 1873 г., французский математик Шарль Эрмит (вы заметили, как много нам встречается французских математиков?) доказал трансцендентность е – числа Эйлера{31}. Доказательство трансцендентности числа (особенно числа π) – процесс долгий и сложный, и здесь мы не станем входить в его подробности. В общем, просто представьте себе, каким образом можно получить доказательство того, что существует число, не дающее нуля ни в каком уравнении вида

Это отнюдь не простая задача!

Чтобы проиллюстрировать ее сложность, скажу только, что в настоящее время все еще неизвестно, к каким числам – алгебраическим или трансцендентным – относится π в степени π (π^π). Давид Гильберт (который, напомню, является счастливым «владельцем» бесконечной гостиницы) задавался вопросом об алгебраичности или трансцендентности числа 2^√2. Сегодня мы знаем, что это число трансцендентно. Собственно говоря, доказательство этого факта – часть общей теоремы, которая называется теоремой Гельфонда – Шнайдера, утверждающей, что число a^b трансцендентно, если а – любое алгебраическое число, не равное 0 или 1, а b – иррациональное алгебраическое число. При помощи этой теоремы мы можем заключить, что е в степени π (e^π) должно быть трансцендентным, так как, если вы помните, e^π = e^iπ(–i) = (–1)^–i.