Жизнь науки

Однако не все еще сделано. Большая часть этих разложений не сходится в том смысле, в котором геометры понимают это слово. Конечно в настоящее время это не имеет большого значения, поскольку мы уверены, что вычисление первых членов дает весьма удовлетворительное приближение. Но не менее верно и то, что эти разложения не могут давать сколь угодно точное приближение. Поэтому наступит момент, когда они станут неудовлетворительными. Краме того, некоторые теоретические выводы, которые можно было бы сделать па основании вида этих рядов, не будут законными вследствие их расходимости. Так, например, они не могут служить для разрешения вопроса об устойчивости солнечпой системы. Исследование сходимости этих разложений должно привлечь внимание геометров по причинам, которые я изложил и, кроме того, по следующей причине: цель небесной механики не будет достигнута, если мы вычислим эфемериды более пли менее приближенно, не отдавая себе отчета в степени полученной точности. Действительно, если мы обнаружим расхождение между этими эфемеридами и наблюдениями, необходимо, чтобы можно было установить, виноват ли в этом закон Ньютона или все можно объяснить несовершенством теории. Поэтому важпо определить верхний предел допущенной ошибки, на что, может быть, недостаточно обращали внимание до последнего времени.

Оказывается, методы, которые позволяют исследовать сходимость, дают нам в то же время этот верхний предел, что повышает их значение и практическую ценность.

Поэтому не следует удивляться, что я отвожу этим методам такое большое место в этой книге, хотя, быть может, я извлек из них не все, что они могут дать.

Я сам занимался этими вопросами и посвятил им мемуар, который появился в XIII томе «Acta Mathematica»; в особенности я старался осветить те немногочисленные результаты, относящиеся к задаче трех тел, которые могут быть установлены с абсолютной строгостью, требуемой математикой. Только эта строгость придает некоторую ценность моим теоремам о периодических, асимптотических и двоякоасимптотических решениях. Действительно, здесь можно будет найти твердую основу, на которую можно спокойно опереться, а это представляет ценность для всех исследований, даже для тех, где не требуется такой строгости.

С другой стороны, мне казалась, что мои результаты позволили мне объединить в некий синтез большинство новых, недавно предложенных методов, и это побудило меня предпринять настоящий труд.

В предлагаемом первом томе я должен был ограничиться изучением периодических решений первого рода, доказательством несуществования однозначных интегралов, а также изложением и обсуждением методов Линдштедта.

Следующие тома я посвящу обсуждению методов Гильдена, теории интегральных инвариантов, вопросам устойчивости, изучению периодических решений второго рода, асимптотических и двоякоасимптотических решений и, наконец, новым результатам, которые я смогу получить к моменту опубликования этих томов.

Кроме того, я буду принужден, без сомнения, вернуться в последующих томах к вопросам, рассмотренным в I томе. Правда, логика при этом немного пострадает, но нельзя поступать иначе в отрасли науки, которая находится в стадии становления и в которой новые достижения следуют непрерывно одно за другим. Поэтому я заранее прошу извинить меня.

Последнее замечание: обычно результаты представляют в форме, наиболее удобной для вычисления эфемерид, выражая координаты в виде явных функций времени. Этот путь представляет, очевидно, значительные преимущества, и большею частью я по возможности ему следовал; однако я так поступал не всегда и часто представлял результаты в форме интегралов, т.е. в виде неявных соотношений между коордипа-тами пли между координатами и временем. Прежде всего, эти соотношения можно использовать для проверки формул, дающих координаты в явном виде. Но это не все; истинная цель небесной механики состоит пе в вычислении эфемерид, так как в этом случае можно было бы удовлетвориться предвидением на короткий срок, а в том, чтобы убедиться, достаточно ли закона Ньютона для объяснения всех явлений. С этой точки зрения неявные соотношения, о которых я говорил выше, могут оказаться столь же полезными, как и явные формулы. Действительно, достаточно в них подставить наблюденные значения координат и проверить, удовлетворяются ли они.

ГИЛЬБЕРТ

(1862—1943)

Давид Гильберт родился в Восточной Пруссии. В отличие от обычпых для немецких студентов того времени, скитающихся из одного университета в другой, Гильберт получил образование и первые ученые степени в родном Кенигсберге. Основное значение для Гильберта имела сохранившаяся на всю жизнь дружба с Минковским и Адольфом Гурвпцем. В беседах с ними, часто во время долгих прогулок, больше, чем от занятий с кппгами, лекций и семинаров, сформировался Гильберт как ученый: в дальнейшем оп всегда предпочитал устное слово печатному.