Жизнь науки

31 Жизнь науки быть может и большинством философов, внутренне противоречивыми И потому по необходимости отличающимися от действительного пространства и движения, тогда как, если взгляды, излагаемые па следующих страницах, верны, то никаких внутренних противоречий в математических пространстве и движении не должно усматриваться. Однако такие соображения, лежащие вне математики, практически полностью исключены из данной работы.

По основным вопросам философии в своих главных чертах я следую Дж. Э. Муру. Я заимствую у него идею неэкзистенциального характера высказываний (за исключением утверждений существования) и их независимости от любого познающего разума. Я также принял плюрализм, рассматривающий мир, как сущего, так и сущностей, состоящим из бесконечного числа взаимно независимых сущностей, отношения которых яв-ляются исчерпывающими и не сводятся к чему-либо, зависящему от их элементов или того целого, которое они составляют. До того, как я усвоил эти взгляды от него, я был совершенно не в состоянии построить какую-либо философию арифметики, в то время как их принятие привело к немедленному освобождению от большого числа трудностей, трудностей, которые я считал непреодолимыми. Только что упомянутое учение, с моей точки зрения, совершенно необходимо для всякой сколько-нибудь удовлетворительной философии математики, что, как я надеюсь, будет видно из следующих страниц. Однако я должен предоставить моим читателям судить о том, в какой мере мои рассуждения опираются на эти принципы и в какой мере они, эти принципы, подтверждаются. Формально мои посылки просто постулируются. Но тот факт, что они позволяют математике быть истинной, чего не допускает большинство философских теорий, является сильнейшим доводом в их пользу.

В математике я больше всего обязан, как это, наверное, очевидно, Георгу Кантору и профессору Пеано. Если бы я был ранее знаком с работами профессора Фреге, то я многим был бы обязан и ему, хотя я и независимо получил ряд результатов, которые он уже установил. На каждом этапе моей работы мне помогали замечания, пример и великодушная поддержка А. Н. Уайтхеда. Он также был настолько любезен, что прочел корректуру и значительно улучшил окончательный вид очель многих мест. Ряду полезных замечаний я обязан также В. Э. Джонсону. Помимо общих положений, лежащих в основе целого, в более философских частях книга я многим обязан Дж. Э. Муру.

В попытке охватить столь обширную область невозможно было достичь исчерпывающего знакомства с литературой и несомненно есть ряд важных работ, с которыми я незнаком. Однако тогда, когда труд по размышлению и написанию по необходимости поглощает столько времени, такое незнакомство невозможно избежать, как бы печально оно ни было.

В изложении многие слова будут определяться в смысле, отличающемся от общепринятого в обиходе. Такие отступления, и я должен просить читателя этому поверить, .не являются произвольными и сделаны

по необходимости. В философских вопросах это происходит по двум причинам. Во-первых, часто бывает, что рассматривают два известных понятия и что язык имеет два названия для одного и ни одного для другого. В таких случаях в высшей степени удобно установить различие между двумя названиями, которые обычно рассматриваются как синонимы, оставив одно для обычного, а другое для дотоле безыменного понятия. Во-вторых, это идет от философских разногласий с установленными точками зрения. Когда два качества обычно получаются раздельно связанными, а здесь полагаются раздельными, название, которое обычно прилагалось к их сочетанию, будет применимо к одному пли другому. Например, утверждения обычно принимаются как: 1) истинные или ложные; 2) мыслимые. Полагая, как это делаю я, что то, что истинно или ложно, не является вообще мыслимым, я требую названия для истинного или ложного как такового и это название едва ли может быть иным, чем утверждением. В таком случае расхождение с общеупотребительным ни в коей мере не произвольно. Что касается математических терминов, то необходимость установления в каждом случал теорем существования — иными словами, доказательства того, что существую? рассматриваемые сущности, привело ко многим определениям, которые кажутся существенно отличными от понятий, обычно приписываемых рассматриваемым терминам. Таковы, например, определения кардинальных, обычных и комплексных чисел. Определение первых двух, а также ряда других случаев, определение класса (множества), полу-' ченное на основе принципа исчерпания, просто опирается на факт того, что здесь нет сомнений в теоремах существования. Однако во многих случаях такого кажущегося отличия от общеупотребительного можно сомневаться в том, насколько было бы возможным увеличить точность понятий, которые до сих пор были более или менее расплывчатыми.