Жизнь науки

Данный том, который можно рассматривать либо «как комментарий, либо как введение ко второму тому, в равной мере адресован философу и математику. В некоторых своих частях он будет более интересен одному, а в других — другому. Математикам, если только они не заинтересованы специально в символической логике, я могу посоветовать начать с части IV и обращаться к начальным главам толькб по мере необходимости. Более философский характер имеют следующие разделы: часть I (без главы II); часть И: главы XI, XV, XVI, XVII; часть III; часть IV: § 207, главы XXVI, XXVII, XXXI; часть V: главы XLI, XLII, XLIII; часть VI: главы I, LI, LII; часть VII: главы LIII, HV, LV, LVII, LVIII, а также два приложения, относящиеся к части I, которые следует читать в связи с ними. Работа профессора Фреге, которая в значительной мере предвосхищает мою, была гае большей частью неизвестной, когда началось печатание данного труда. Я видел его «Основы арифметики»; однако нз-за большой трудности его символики я не мог ни оценить ее важность, ни принять ее содержание. Единственный способ, на столь поздней стадии, отдать должное его работам состоял в том, чтобы посвятить им приложение. Но в некоторых пунктах взгляды, содержащиеся в приложении, отличаются от тех, которые даны в главе VI, особенно в §§ 71, 73, 74. Я обнаружил ошибки в вопросах, рассматриваемых в этих параграфах, уже после того, как материал поступил в печать. Эти ошибки, из которых основная заключается в отрицании нулевого класса и отождествлении элемента с классом, единственным элементом которого он является, исправлены в приложениях. Рассматриваемые вопросы столь трудны*, что я не стал бы настаивать на настоящих своих мнениях и рассматриваю всякие выводы, которых можно придерживаться как существенно гипотетических.

Важность рассматриваемых вопросов могут помочь понять несколько cjtob о происхождении данной работы. Шесть лет тому назад я предпринял исследование философских основ динамики. Я столкнулся с трудностью, заключающейся в том, что, когда на частицу действует несколько сил, ни одна из составляющих ускорения не реализуется, а реализуется только результирующее ускорение, частями которого они но являются. Этот факт делает иллюзорным всякое причинение частичного от частичного, как это утверждается, на первый взгляд, законом тяготения. Казалось также, что проблема абсолютного движения неразрешима в рамках теории относительности пространства. От этих двух вопросов я пришел к пересмотру понятий геометрии, а затем к философским вопросам непрерывности и бесконечности, а затем к смыслу слова всякий,

к символической логике. Окончательный результат, что касается философии динамики, наверное довольно скромен; причина этого состоит в том, что почти все проблемы динамики кажутся мне лишь эмпирическими и потому лежащими вне пределов данной работы. Пришлось опустить также много интересных вопросов, особенно в частях VI и VII, как не относящихся к моей цели и которые, с тем, чтобы избежать непонимания, лучше всего объяснить здесь.

Когда рассматриваются действительные предметы, или же когда геометрия и динамика применяются к действительно существующему пространству или материи, или же когда любым другим образом математические рассуждения применяются к тому, что существует, то же рассуждение, которое используется, применяется в виде, не зависящем от объектов, к которым они применяются, полагая, что эти объекты именно таковы, какими они есть, и обладают определенными общими свойствами. В чистой математике нет вопроса о действительных предметах реального мира, в ней идет речь только о гипотетических объектах, имеющих общие свойства, от которых зависят любые рассматриваемые заключения. Эти общие свойства всегда будут выражаться в терминах фундаментальных понятий, которые я назвал логическими константами. Так, когда в чистой математике мы говорим о пространстве и движении, мы не говорим о действительном пространстве и’ действительном движении, какие мы знаем из опыта, мы говорим о вещах, обладающих теми абстрактными общими свойствами пространства и движения, которые используются в геометрических и динамических рассуждениях. Вопрос о том, относятся ли эти свойства в действительности к реальному пространству и материи, не имеет никакого отношения к чистой математике и тем самым к данной работе. С моей точки зрения — это чисто эмпирический вопрос, который следует исследовать в лаборатории или обсерватории. Косвенно, правда, рассуждения, связанные с чистой математикой, имеют очень большое отношение к таким эмпирическим вопросам, поскольку математические пространство и движение считаются многими,