Апология математики (сборник статей)

Когда автор этих строк в 1947 г. пришёл студентом на мехмат Московского университета, он ещё застал замечательное выражение разве что счётное множество, означающее множество, являющееся конечным или счётным. Хотелось бы вдохнуть в него новую жизнь, и потому примеры 45 и 46 мы сформулируем с его использованием.

Пример 45. Доказать, что всякое подмножество разве что счётного множества разве что счётно.

Если объемлющее множество конечно, то всякое его подмножество конечно. Если же оно бесконечно, то расположим его элементы в последовательность β с неповторяющимися членами. Те члены этой последовательности, которые принадлежат интересующему нас подмножеству, естественным образом образуют конечную или бесконечную подпоследовательность последовательности β, что и доказывает, что это подмножество конечно или счётно. Итак, всякое подмножество разве что счётного множества разве что счётно.

Пример 46. Доказать, что объединение М ∪ С бесконечного множества M с разве что счётным множеством C содержит столько же элементов, сколько и M.

Напомним, что через C \ M обозначается множество всех тех элементов С, которые не являются элементами M. Заметим, что М ∪ С = М ∪ Н, где H = C \ M, причём H разве что счётно и не пересекается (т. е. не имеет общих элементов) с M. Если мы сумеем установить взаимно однозначное соответствие между M и М ∪ Н, то провозглашённый в примере 46 факт будет доказан.

Мы поступим так. Множество M разобьём на два непересекающихся множества A и B: M = A ∪ B, а множество М ∪ Н на два непересекающихся множества K и L: М ∪ Н = K ∪ L. Затем установим два взаимно однозначных соответствия: соответствие η между A и K и соответствие θ между B и L. При этом автоматически возникнет соответствие между множеством A ∪ B, равным M, и множеством K ∪ L, равным М ∪ Н, каковое соответствие, в силу того что A не пересекается с B, а K не пересекается с L, будет взаимно однозначным.

Приступаем к осуществлению плана. Выделяем в М счётное подмножество R. Полагаем A = M \ R, B = R, K = M \ R, L = R ∪ Н. В качестве η берём соответствие тождества, при котором каждый элемент соответствует сам себе. Множество R счётно, а множество H конечно или счётно. Поэтому (см. примеры 42 и 43) множество L счётно и между ним и B существует взаимно однозначное соответствие. Одно из таких соответствий берём в качестве θ. Итак, объединение бесконечного множества с разве что счётным множеством содержит столько же элементов, сколько и бесконечное множество.