Апология математики (сборник статей)

Пример 48. Доказать, что все отрезки на числовой прямой равномощны. Достаточно доказать равномощность произвольного отрезка [a; b] единичному отрезку [0; 1] (тогда все отрезки окажутся равномощными в силу принципа транзитивности). Формула y = (1 – t)a + tb, где t пробегает [0; 1], даёт требуемое взаимно однозначное соответствие между [0; 1] и [a; b]. Приводимая формула имеет наглядную физическую интерпретацию: точка y едет с постоянной скоростью от левого конца отрезка [a; b] к правому и достигает цели в течение единичного интервала времени; каждому моменту единичного интервала соответствует положение точки в этот момент. Следовательно, все отрезки на числовой прямой равномощны.

Пример 49. Доказать, что все интервалы равномощны. Доказательство ведётся так же, как в примере 48, только t пробегает теперь не отрезок [0;1], а интервал]0; 1[.

Пример 50. Доказать, что всякий интервал равномощен прямой.

Формула y = tg x устанавливает взаимно однозначное соответствие между интервалом] –π/2; + π/2[и прямой. А все интервалы равномощны друг другу. Следовательно, всякий интервал равномощен прямой.

Пример 51. Доказать, что интервал]a; b[и отрезок [a; b] равномощны.

Записываем [a; b] =]a; b[∪ {a; b} и вспоминаем результат примера 46.

Континуальность лучей просим читателя рассмотреть самостоятельно.