Апология математики (сборник статей)

Пример 52. Как доказать, что существуют иррациональные числа?

Можно предложить прямое доказательство существования иррациональных чисел. Например, указать число √2 и доказать, что оно иррационально. Выше были приведены два таких доказательства: арифметическое (в примере 11) и геометрическое (в примере 19). Но можно предложить и косвенное доказательство.

Множество всех рациональных чисел счётно, а множество всех действительных чисел несчётно; значит, бывают и числа, не являющиеся рациональными, т. е. иррациональные. Конечно, надо ещё доказать счётность множества рациональных чисел. Счётность множества рациональных чисел вытекает из того, что каждому рациональному числу можно дать имя в виде слова в едином для всех рациональных чисел алфавите.

Изъяснимся подробнее. В качестве единого алфавита выбираем двенадцатибуквенный алфавит {–; /; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. С каждым рациональным числом взаимно однозначно сопоставляем несократимую дробь, а дробь записываем в виде m/n, если она положительна, и в виде – m/n, если она отрицательна; здесь m и n – десятичные записи натуральных чисел. Эту запись m/n или – m/n объявляем именем соответствующего рационального числа. Множество данных имён счётно как подмножество счётного множества всех слов в данном алфавите, а потому счётно и множество всех рациональных чисел.

В примере 52 косвенное доказательство было не намного проще прямого. Но бывают ситуации, когда косвенное доказательство гораздо проще прямого. Именно так обстоит дело в случае трансцендентных чисел.

Действительное число называется алгебраическим, если оно является корнем ненулевого многочлена с целыми коэффициентами; в противном случае оно называется трансцендентным. Прямое доказательство существования трансцендентных чисел состоит в предъявлении образца таких чисел. Первое такое предъявление было осуществлено в 1844 г., чем и было доказано существование трансцендентных чисел. Впоследствии было доказано, что трансцендентными являются известные числа e (основание натуральных логарифмов) и π (отношение длины окружности к диаметру). Однако доказать, что число e или число π (или какое угодно другое число) является трансцендентным, довольно сложно. В то же время возможно следующее несложное косвенное доказательство существования трансцендентных чисел. Надо сравнить два множества – несчётное множество всех действительных чисел и множество всех алгебраических чисел – и убедиться, что второе счётно. Счётность следует из того, что каждое алгебраическое число можно «назвать», т. е. присвоить ему некоторое имя. В качестве такого имени проще всего взять выражение, состоящее из двух частей: 1) из записи соответствующего многочлена и 2) порядкового номера рассматриваемого числа среди корней этого многочлена (корни берутся в порядке возрастания).