Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной

Архимед углубился в загадку кривых, снова руководствуясь принципом бесконечности, в своем труде под названием «Квадратура параболы»[57]. Парабола – это кривая, которую описывает мяч при броске или струйка воды из фонтана. На самом деле эти дуги в реальном мире можно считать параболами только приближенно. Согласно Архимеду, настоящая парабола получается при сечении конуса плоскостью[58]. Представьте себе нож, который разрезает колпак или конический бумажный стаканчик; при разрезе могут получиться разные виды кривых – в зависимости от того, под каким углом нож будет резать конус. Разрез параллельно основанию конуса образует окружность.

Если провести разрез немного наклонно, получится эллипс.

Если угол разреза будет таким же, как у самого конуса, получится парабола.

Если посмотреть на плоскость разреза, то парабола выглядит как изящная симметричная кривая. Линия симметрии называется осью параболы.

В своем труде Архимед поставил перед собой задачу вычислить площадь сегмента параболы. Говоря современным языком, сегментом параболы называется криволинейная область, лежащая между параболой и пересекающей ее прямой.

Термином «квадратура» называется определение площади какой-либо фигуры (изначально – построение квадрата, равновеликого этой фигуре), то есть поиск способа выразить ее через более простые формы – квадрат, треугольник, прямоугольник и прочие прямолинейные фигуры.

Архимед использовал потрясающую стратегию. Он представил сегмент параболы как бесконечное множество треугольных черепков, склеенных вместе, словно осколки разбитого глиняного горшка.

Эти осколки образуют бесконечную иерархию размеров: один большой треугольник, два поменьше, четыре еще меньше и так далее. Ученый планировал найти их площади, а затем сложить их и вычислить интересующую его площадь. Требовался калейдоскопический скачок художественного воображения, чтобы представить плавный сегмент в виде мозаики из угловатых кусков. Если бы Архимед был художником, он стал бы первым кубистом.

Для реализации своей стратегии Архимеду требовалось вычислить площадь всех осколков. Но как точно определить эти осколки? Ведь параболический сегмент можно разбивать на куски бесконечным числом способов – так же как бесконечным числом способов можно разбить тарелку на части. Самый большой осколок может выглядеть вот так, или так, или вот так:

Ученому пришла в голову блестящая идея. Блестящая потому, что она создавала закономерность, которую можно было сохранять на всех уровнях иерархии. Он представил, как секущая линия в основании сегмента скользит вертикально, сохраняя свой наклон, пока не будет соприкасаться с параболой в единственной точке неподалеку от вершины.

Такая особая точка называется точкой касания. Она определяет третью вершину большого треугольника, где две другие – точки пересечения секущей и параболы.

Архимед использовал эту же тактику для определения треугольников на каждом этапе в иерархии. Например, на втором этапе треугольники выглядели так:

Обратите внимание, что теперь роль наклонной линии, пересекавшей треугольник на предыдущем этапе, играют стороны большого треугольника.

Затем Архимед использовал известные геометрические факты о параболах и треугольниках, чтобы узнать, как площади треугольников одного уровня связаны с площадью треугольников предыдущего уровня. Он доказал, что площадь каждого нового треугольника составляет 1/8 площади породившего его треугольника. Таким образом, если считать, что площадь первого, самого крупного, треугольника 1 (пусть он будет нашей единицей площади), то площадь двух дочерних треугольников будет 1/8 + 1/8 = 1/4.

На каждом следующем этапе справедливо то же правило: дочерние треугольники всегда составляют в сумме четверть площади от родительского. Следовательно, общая площадь сегмента параболы, состоящая из всего бесконечного количества осколков, должна равняться

В этом бесконечном ряду каждый член вчетверо меньше предыдущего.

Существует простой способ вычислить сумму членов такого ряда, известного как геометрическая прогрессия. Хитрость состоит в том, чтобы избавиться от бесконечного числа слагаемых. Для этого умножим обе части уравнения на 4 и вычтем из получившегося равенства исходное. Смотрите: умножение всех членов ряда на 4 дает:

Чудо происходит между предпоследней и последней строками. В предпоследней строке, подобно фениксу, возродилось выражение для исходной площади: и поэтому мы получаем

4 × Площадь = 4 + Площадь.

Вычитая из обеих частей величину Площадь, получаем 3 × Площадь = 4, откуда Площадь = 4 / 3. Другими словами, площадь сегмента параболы составляет 4 / 3 от площади самого большого треугольника.

Рассуждение о сыре