Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной

Архимед не одобрил бы вышеприведенный трюк. Он получил тот же результат другим путем, используя рассуждение под названием двойное доказательство от противного. Он доказывал, что площадь сегмента параболы не может быть меньше 4 / 3 или больше 4 / 3, поэтому она должна быть равна 4 / 3. Как позднее советовал Шерлок Холмс, «отбросьте все невозможное, и то, что останется, будет истиной, какой бы невероятной она ни казалась»[59].

Принципиально важно здесь то, что Архимед устранил невозможное с помощью рассуждений, основанных на конечном

количестве осколков. Он показал, что суммарная площадь всех осколков может отличаться от числа 4 / 3 сколь угодно мало – просто надо взять достаточно большое их количество. Поэтому Архимед не прибегал к бесконечности. Все в его доказательстве было железным и вполне соответствует современным стандартам строгости.

Суть его аргументов легко понять, если представить их в виде повседневных терминов. Предположим, что три человека хотят поделить между собой четыре одинаковых ломтика сыра.

Самым здравым решением было бы дать каждому по кусочку, а оставшийся разрезать на три равные части. Это честно: каждый получит по 1 + 1/3 = 4/3 ломтика.

Но предположим, что эти трое оказались математиками, которые слоняются вокруг стола с едой перед семинаром, разглядывая последние четыре ломтика сыра. Самый сообразительный из троих, по совпадению носящий имя Архимед, может предложить такое решение: «Ребята, берем по одному куску, а оставшийся будем делить. Евклид, разрезай его на четыре части, а не на три. Теперь опять берем каждый по четверти, а оставшийся делим. Продолжаем так делать, пока оставшаяся крошка не перестанет нас интересовать. Хорошо? Евдокс, прекрати ныть».

Сколько всего сыра съест каждый из них, если процесс будет продолжаться бесконечно? После первого этапа каждый математик съест один ломтик. После второго, когда поделили четверть, у всех по 1 + 1/4 ломтика. После третьего этапа каждый съест по 1+ 1/4 + 1/16 ломтика. И так далее. Если дележ будет продолжаться вечно, каждому достанется 1+ 1/4 + 1/16 + … ломтиков сыра. А поскольку эта величина равна трети от исходного количества сыра, то 1+ 1/4 + 1/16 + … = 4/3.

В «Квадратуре параболы» Архимед дал очень близкое рассуждение, включая диаграмму с квадратами разного размера, но нигде не прибегал к бесконечности и не пользовался аналогами многоточия, чтобы показать бесконечную сумму. Наоборот, он рассуждал в терминах конечных сумм, так что его изложение было безупречно строгим. Его ключевое соображение заключалось в том, что крохотный квадратик в правом верхнем углу – текущий остаток, который еще предстоит разделить, – можно сделать меньше любого заданного числа после достаточно большого, но конечного числа этапов. И, согласно аналогичным рассуждениям, величину 1+ 1/4 + 1/16 + … + 1/4n (общее количество сыра, которое получает каждый математик) можно сделать сколь угодно близкой к числу 4/3, если взять достаточно большое n. Поэтому единственно возможный ответ – 4/3.

Метод

В этот момент я начинаю испытывать настоящее расположение к Архимеду, поскольку в одном из своих сочинений[60]

он делает то, на что решаются немногие гении: приглашает нас посмотреть, как он мыслит[61]. (Я использую здесь настоящее время, потому что этот труд воспринимается так, словно ученый говорит с нами сегодня). Он делится своей уязвимой интуицией и выражает надежду, что будущие математики станут использовать ее для решения задач, которые ускользнули от него. Сегодня этот секрет известен как метод[62]. Я никогда не слышал о нем на занятиях по анализу. Нас ему не учат. Но я нахожу его историю и саму изначальную идею захватывающей и уникальной.

Архимед пишет о «Методе» в письме своему другу Эратосфену, библиотекарю в Александрии и единственному математику того времени, способному его понять. Он признается, что хотя его метод и не обеспечивает реальной демонстрации результатов[63], которые его интересуют, он помогает установить истину. Это наделяет его интуицией. Как он говорит, «если мы с помощью этого метода заранее получили какие-то знания по нужному вопросу, получить доказательство проще, чем находить его без предварительного знания». Другими словами, разминаясь, играя с методом, Архимед приобретает ощущение территории. И это приводит его к надежным доказательствам.

Вот такой честный отчет о том, что значит заниматься творческой математикой. Математики не придумывают доказательств сразу. Сначала срабатывает интуиция. Строгость приходит позднее. Эту решающую роль интуиции и воображения часто не учитывают в школьных курсах геометрии, однако она важна для всей творческой математики.