Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной

После смерти Тихо Браге в 1601 году Кеплер унаследовал его данные о Марсе и других планетах. Чтобы объяснять их движение, он пробовал одну теорию за другой, заставляя планеты двигаться то по эпициклам, то по яйцевидным кривым, то по кругам, где Солнце находилось не в центре. Но все эти модели давали расхождение с данными Тихо, что нельзя было игнорировать. «Дорогой читатель, – сокрушался Кеплер после одного такого вычисления, – если ты устал от столь утомительной процедуры, пожалей меня, ибо я проделал ее как минимум 70 раз»[139].

Первый закон Кеплера: эллиптические орбиты

В поисках объяснения движения планет Кеплер в конце концов попробовал хорошо известную кривую – эллипс. Как и парабола, эллипс изучался учеными античности. Из главы 2 мы узнали, что древнегреческие геометры определяли эллипс как овалоподобную кривую, образованную при сечении конуса наклонной плоскостью, угол наклона которой меньше, чем у образующей конуса[140]. Если плоскость почти горизонтальна, то эллипс в сечении будет почти кругом; если же плоскость почти параллельна образующей, то эллипс будет сильно вытянутым и похожим на сигару. Если вы начнете менять наклон плоскости, эллипс будет принимать вид от округлого до сильно сжатого.

Есть еще один простой способ начертить эллипс – с помощью нескольких обычных предметов.

Возьмите карандаш, пробковую доску, лист бумаги, две кнопки и кусок нитки. Положите бумагу на доску. Прикрепите кнопками к бумаге концы нитки так, чтобы она немного провисала. Затем натяните нить кончиком карандаша и начните рисовать кривую, удерживая при этом нить натянутой. Когда карандаш обойдет вокруг обеих кнопок и вернется в исходную точку, получившаяся кривая и будет эллипсом.

Особую роль тут играет положение кнопок. Кеплер назвал их фокусами (или фокальными точками) эллипса. Они настолько же важны для эллипса, как центр для окружности. Окружность определяется как множество точек, расстояние от которых до данной точки (центра) – постоянная величина. Аналогично эллипс – это множество точек, сумма расстояний от которых до двух данных точек (фокусов) – постоянная величина. В нашей конструкции из нитки и двух кнопок эта постоянная сумма двух расстояний в точности равна длине натянутой нити.

Первое величайшее открытие Кеплера – и на этот раз он не ошибся и не нуждался в пересмотре своих идей – состояло в том, что все планеты двигаются по эллиптическим орбитам. Не окружность и не окружность в сочетании с круглыми эпициклами, как считали Аристотель, Птолемей, Коперник и даже Галилей. Нет. Эллипсы. Более того, он обнаружил, что Солнце находится в одном из фокусов эллиптической орбиты для всех планет.

Это было поразительно, именно на такую божественную подсказку Кеплер и надеялся. Планеты двигались в соответствии с геометрией. Пусть это и не геометрия пяти платоновых тел, как он предполагал изначально, но тем не менее его инстинктивные догадки были правильными. Геометрия действительно управляла небесами.

Второй закон Кеплера: равные площади за равное время

Кеплер обнаружил в имеющихся данных еще одну закономерность. Если первая касалась траектории планет, то эта – их скоростей. Сегодня она известна как второй закон Кеплера, который гласит: воображаемая линия, проведенная от Солнца к планете, заметает равные площади за равные промежутки времени, когда планета двигается по своей орбите.

Чтобы разъяснить смысл этого закона, предположим, что мы смотрим, где сегодня на своей эллиптической орбите находится Марс. Соедините эту точку с Солнцем прямой линией.

Теперь представьте эту линию как щетку дворника-стеклоочистителя, где Солнце находится в шарнире, а Марс – на кончике щетки (правда, стеклоочиститель двигается в обоих направлениях, а наш отрезок – всегда в одну сторону, причем очень-очень медленно). По мере перемещения Марса по своей орбите в последующие ночи наш отрезок-стеклоочиститель заметает внутри эллипса какую-то площадь. Если мы снова посмотрим на Марс через какое-то время (скажем, через три недели), то наш отрезок заметет фигуру, называемую сектором.

Кеплер обнаружил, что площадь «трехнедельного» сектора остается неизменной, где бы ни находился Марс на своей орбите. Если мы посмотрим на Марс в любых двух точках его орбиты, разделенных равными промежутками времени, то все получающиеся секторы всегда будут иметь одинаковые площади, независимо от их места нахождения на орбите.

Попросту говоря, второй закон утверждает, что планеты двигаются не с постоянной скоростью. Чем ближе они к Солнцу, тем быстрее перемещаются. Утверждение о заметании равных площадей за равные промежутки времени – способ сформулировать это точно.

Если время перехода из P₁ в P₂ равно времени перехода из P₃ в P₄, то получающиеся секторы имеют равные площади.