Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной

Рассмотрим самую простую и унылую ситуацию, какую только можно представить: одно изолированное тело в пустой Вселенной. Как оно будет двигаться? Что ж, поскольку вокруг нет ничего, что будет толкать или тянуть его, сила, воздействующая на тело, равна нулю: F = 0. Тогда, учитывая, что масса m не равна нулю (будем считать, что тело имеет какую-то массу), закон Ньютона дает a =

F / m = 0, откуда следует, что dv / dt

 = 0. Однако равенство dv / dt = 0 означает, что скорость одиночного тела не изменяется в течение бесконечно малого интервала времени dt. Она не изменится и в следующий, и в последующий интервал времени. А значит, когда

F = 0, тело сохраняет свою скорость неизменной. Это закон инерции Галилея: в отсутствие внешней силы покоящееся тело остается в покое, а двигающееся продолжает двигаться с постоянной скоростью. Его скорость и направление движения не меняются. Мы только что вывели этот принцип как логическое следствие более глубокого закона движения Ньютона F = ma.

Похоже, что Ньютон еще в колледже понял, что ускорение пропорционально силе. Из трудов Галилея он знал, что, если на тело не действует никакая сила, оно либо остается в покое, либо двигается по прямой с постоянной скоростью. Он понял, что сила нужна не для создания движения, а для создания изменений в движении. Именно сила ответственна за то, что тела ускоряются, замедляются или отклоняются от прямой линии. Это понимание было значительным шагом вперед по сравнению с аристотелевским мышлением. Аристотель не воспринимал инерцию. Он полагал, что сила нужна только для того, чтобы заставить тело двигаться. И, справедливости ради, это верно в ситуациях, где есть значительное трение. Если вы попробуете двигать по полу письменный стол, вам придется постоянно толкать его; как только вы прекратите это делать, стол остановится. Однако для планет, летящих в космическом пространстве, или яблок, падающих на землю, трение не так актуально. В этих случаях сила трения пренебрежимо мала и ее можно игнорировать, не упуская сути явления.

В ньютоновской картине мира доминирующая сила – это тяготение, а не трение. Так и должно быть, учитывая, как тесно Ньютон и тяготение связаны в сознании людей. Когда большинство людей думают об ученом, они тут же вспоминают о том, что Ньютон открыл гравитацию, когда ему на голову упало яблоко[263]. Внимание, спойлер: это не так. Ньютон не открывал гравитацию; люди уже знали, что тяжелые предметы падают. Но никто не знал, насколько далеко распространяется гравитация. Не заканчивается ли она в небе?

Ньютон предположил, что гравитация может распространяться до Луны, а возможно, и дальше. Его идея состояла в том, что движение Луны по орбите – это нечто вроде бесконечного падения на Землю. Но, в отличие от падающего яблока, Луна не падает на Землю, потому что одновременно по инерции движется в сторону. Это похоже на полет одного из пушечных ядер Галилея, летящего в сторону и падающего одновременно, двигаясь по какой-то криволинейной траектории; за исключением того, что Луна перемещается так быстро, что не достигает искривленной поверхности сферической Земли. Поскольку орбита нашего спутника отклоняется от прямой линии, Луна ускоряется – не в том смысле, что меняет скорость, а в том, что меняет направление движения. С прямолинейного пути ее сбивает непрекращающееся притяжение Земли. Результирующее ускорение называется центростремительным ускорением, то есть направленным к центру – в нашем случае к центру Земли.

Из третьего закона Кеплера Ньютон заключил, что сила тяжести ослабевает с расстоянием, что объясняет, почему более удаленные планеты дольше обращаются вокруг Солнца. Согласно его расчетам, если Солнце притягивает планеты с помощью такого же рода силы, как та, что притягивает яблоко к Земле и удерживает на орбите Луну, то эта сила должна ослабевать обратно пропорционально квадрату расстояния. Таким образом, если бы расстояние между Землей и Луной можно было бы как-то удвоить, то сила притяжения между ними уменьшилась бы в четыре раза (в 2², а не в 2 раза). Если бы расстояние утроилось, сила уменьшилась бы в девять раз, а не в три. Следует признать, что в расчеты Ньютона входили некоторые сомнительные предположения, в частности о том, что гравитация действует на расстоянии мгновенно, словно расстояния в космосе не имеют значения. Он понятия не имел, как такое возможно, но закон обратных квадратов его заинтересовал.