Быстрая математика: секреты устного счета

Воспользовавшись простым десятиразрядным калькулятором с четырьмя функциями, я взял 6,31 в качестве второго приближения и повторил вычисления. В качестве окончательного ответа я получил 6,2996053, тогда как мой инженерный калькулятор выдал в ответе 6,299605249 — таким образом, метод обеспечил точность до семи цифр после запятой.

Попробуйте вычислить следующие кубические корни самостоятельно:

a) ³√230 = __; б) ³√540 = __; в) ³√8162 = __; г) ³√30000 = __

Ответы:

а) 6,127; б) 8,1457; в) 20,134; г) 31,07

Используя вышеизложенный метод, полученные вами ответы должны быть весьма близкими к фактическим значениям. Если хотите, можете оценить точность приближения в процентах.

Существует другой способ для решения примеров в) и г). Первыми приближениями являются 20 и 30 соответственно. Таким образом, деление можно выполнять только один раз: на 20² и 30². Это означает деление на 400 и 900. Речь идет о том, чтобы переместить запятую на две цифры влево и делить на 4 и 9.

Аналогично нашему методу вычисления приближенного значения квадратного корня, если исходное число ненамного меньше куба некоего числа, мы можем брать в качестве первого приближения число, куб которого больше, а не нижнее приближение. После этого делим дважды на первое приближение и вычитаем треть разницы между полученным результатом и первым приближением. И опять-таки, как и в случае с квадратным корнем, существует способ сократить вычисления.

Рассмотрим, к примеру, кубический корень из 320.

³√320 =

6 в кубе равно 216, а 7 в кубе будет 343. 7, безусловно, является более близким приближением.

320: 7 = 45,71

Снова делим на 7:

45,7: 7 =

6,53

Вычитаем 6,53 из 7:

7 – 6,53 = 0,47

Теперь необходимо вычислить треть разницы:

0,47: 3 = 0,157

Вычитаем треть разницы (0,157) из нашего приближения (7):

7 – 0,157 = 6,843

Округлим до 6,84 — это искомый ответ.

³√320 = 6,84

Истинным ответом является 6,8399.

Теперь по поводу более короткого способа вычислений. На самом деле мы просто нашли среднее значение для чисел 7, 7 и 6,53. Иными словами, речь идет о делении суммы этих чисел на 3:

7 + 7 + 6,53 = 20,53

20,53: 3 = 6,843

Деля 20 на 3, мы получаем 6 с остатком 2, который переносим к 0,53, получая 2,53.

2,53: 3 = 0,843

Тогда как в случае квадратного корня мы переносим 1, в случае кубического корня мы переносим 2. Вместо того чтобы вычитать треть разницы, вычисленной от верхнего приближения, мы берем нижнее приближение (в данном случае 6), переносим 2 и делим на 3, получая окончательный ответ.

Почему мы переносим 2, вычисляя кубические корни? Потому что, как и в рассмотренном только что случае, когда вычисляем среднее из трех чисел, мы складываем два числа, которые на единицу больше искомого. Поэтому суммой будет нижнее приближение, взятое трижды, плюс 2.

Попробую проиллюстрировать на примере:

³√700 =

В качестве первого приближения берем 9, которое является приближением сверху (9 в кубе равно 729).

Делим 700 на 9 дважды:

700: 9 = 77,77 (округлили в меньшую сторону)

77,77: 9 = 8,64

Первой цифрой ответа является 8. Чтобы получить остаток, заменим целую часть на 2, оставив дробную часть как есть, и разделим полученное число на 3.

2,64:

3 = 0,88

Искомым ответом является 8,88. Он точен до двух знаков после запятой.

Попробуем решить еще один пример:

³√7531 =

Разбиваем число под знаком корня на тройки цифр.

Получаем:

Найдем приближенное значение кубического корня из числа, составленного из цифр первой тройки, то есть 7. 7 близко к 8, равному 2³, поэтому возьмем 2 в качестве нашего первого приближения. У нас две тройки цифр, поэтому в ответе будет две цифры. Берем, как водится, 0 в качестве второй цифры, получая полное первое приближение 20.

Делим 7531 на 20 дважды. Чтобы разделить на 20, сначала делим на 10, а затем на 2.

7531: 20 = 376,55

376,55: 20 = 18,8275

Вместо деления на 20 дважды мы могли бы разделить на 20 в квадрате, то есть на 400.

7531: 100 = 75,31

75,31

: 4 = 18,8275

Теперь мы знаем, что первой цифрой ответа является 1. Речь идет о цифре десятков. Нашим промежуточным результатом является 10.

Ставим 2 перед остатком числа и получаем 28,8275.

28,8275: 3 = 9,609

10 + 9,609 = 19,609

Округляя, получаем 19,6. Наш ответ верен до одной цифры после запятой. Фактический ответ равен 19,60127, значит, мы получили очень близкий результат.

Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно, а затем сравните свое решение с тем, что дано ниже:

а) ³√115 = __; б) ³√500 = __

В примере а) берем 5 в качестве приближения.

Делим 115 на 5 и получаем 23. (Делим на 10 и удваиваем ответ.) Затем делим 23 на 5, получая 4,6. (Делим на 10 и удваиваем.) 4 — это первая цифра нашего ответа.

Подставляем 2 вместо 4, получая 2,6. Теперь делим на 3.

2,6: 3 = 0,8667

Округляем до 4,86. Ответ точен до двух знаков после запятой.

Для примера б) возьмем 8 в качестве первого приближения.

500: 8 = 62,5 62,5: 8 = 7,8125

Согласно правилу приближения по верхнему числу, подставляем 2 вместо 7, получая 2,8125.