Единое ничто. Эволюция мышления от древности до наших дней

Рассмотрим это так. Что на самом деле означает характеристика «неопределённость»? Чтобы ответить на этот вопрос, заметим, что троичная логика – это расширение двоичной и в какой-то степени менее строгая система суждений. В этом смысле ни одна из перечисленных характеристик суждений не должна использоваться в тернарной логике. Действительно, под истиной здесь следует понимать «истинно, что А», а под ложью – «истинно, что не-А». Соответственно, неопределённость тогда становится «неистинно, что А». Но здесь обнаруживается неполнота такой системы, так как возможно ещё «неистинно, что не-А». Именно поэтому возникает неопределённость, которая в троичной логике непреодолима.

Распишем это подробнее и покажем, как происходит расширение от двоичной логики к троичной. Например, если мы в классической логике считаем, что выражение А истинно, то мы на самом деле утверждаем «истинно, что А» (заимствуя такую подмену в модальной логике[107]). Теперь оказывается, что отрицание как будто может иметь два вида: 1) «неистинно, что А» и 2) «истинно, что не

-А». Но какой из вариантов будет соответствовать классической характеристике «ложно, что А»? При должной осмотрительности мы признаем, что искомым отрицанием исходной посылки могут являться оба выражения, в зависимости от выбранного нами определения, чтó есть отрицание. Это создаёт неопределённость или вариативность. Собственно говоря, именно это обстоятельство и даёт возможность для расширения логики до троичной и далее, до четверичной.

Фактически троичная и четверичная логики могут содержать следующие характеристики как расширение классической логики:

Рис. 4. Расширение набора критериев от двоичной логики до четверичной

Как видно из таблицы, троичная логика является неполной и в ней невозможно построить непротиворечивую интерпретацию характеристик истинности. В ней присутствуют истинное утверждение, неистинное утверждение и истинное отрицание. Более полной, очевидно, является четверичная логика, которую мы назвали бы логикой убеждённости. В ней отрицание в общем виде имеет несколько иной смысл, чем в двоичной логике. Отрицание здесь есть переход одной границы логического пространства. Проще всего это можно изобразить как переход границы на следующей диаграмме, но, так же как в примере с троичной логикой, здесь нужно выбрать направление (по часовой или против часовой стрелки).

Рис. 5. Двухмерное логическое пространство

Допустим, выбрано направление по часовой стрелке для отрицания (в обратную сторону – антиотрицание). Отрицание в такой логической модели будет означать пересечение границы по часовой стрелке. Легко заметить, что всё пространство здесь разделено на четыре зоны двумя линиями – осями: осью степени убеждённости и осью степени утвердительности. Вертикальная ось в данном случае делит пространство на две зоны: «убедительно» слева и «неубедительно» справа. Горизонтальная ось делит пространство на «А» (утверждение) сверху и «не-А» (отрицание или антиутверждение) снизу. Фактически это эквивалентно следующим характеристикам по часовой стрелке: «убедительное утверждение», «неубедительное утверждение», «неубедительное отрицание» и «убедительное отрицание».

Например, есть исходное выражение: «если наступает утро, то встаёт солнце». Допустим, что это надёжное утверждение. Тогда его отрицание «если не наступает утро, то встаёт солнце» будет ненадёжным утверждением. В свою очередь, его отрицание «если наступает утро, то не встаёт солнце» окажется ненадёжным отрицанием, а его отрицание «если не наступает утро, то не восходит солнце» будет надёжным отрицанием. Следующее отрицание приведёт к исходному выражению. Очевидно, что в такой логике само отрицание имеет специальное значение, отличное от классического. К счастью, в полной логике ему можно подобрать математическую интерпретацию.

В троичной логике (в силу её неполноты) нам не удалось найти математическую интерпретацию смысла указанных характеристик, но для четверичной логики это возможно. В частности, можно было бы придать этим характеристикам следующие математические значения: «убеждены, что А» = 1, «не убеждены, что А» = i, «не убеждены, что не-А» =

—i и «убеждены, что не-А» = —1, где i – мнимая единица. В этом случае логическое отрицание можно расценивать в математическом смысле как умножение на мнимую единицу. Тогда получится следующая таблица, показывающая, что четверное отрицание в данной логике равносильно одному утверждению. То есть:

Не (Не (Не (Не (А)))) = А

Рис. 6. Отрицание в четверичной логике

Рассмотрим основные логические операции для такой математической интерпретации.

Рис. 7. Конъюнкция в четверичной логике

Рис. 8. Дизъюнкция в четверичной логике

Конъюнкция и дизъюнкция в такой логике имеют классический вид минимума (min) и максимума (max) соответственно, однако импликация заметно отличается от классической.

Рис. 9. Импликация в четверичной логике