Эта странная математика

Ученым-естественникам, как и юристам, чаще приходится иметь дело со свидетельствами, чем с доказательствами. Современные ученые вообще обходятся довольно скромными формулировками и предпочитают не употреблять термины “доказательство” и “истина” в некоем абсолютном смысле. Естественные науки – это в основном наблюдения, выстраивание теорий, наиболее логично объясняющих результаты наблюдений, и последующая проверка теорий дальнейшими наблюдениями и экспериментами. Научные теории носят предварительный характер: это лишь лучший для своего времени способ с помощью доступной информации объяснить, как функционирует окружающий нас мир. Всего одного нового подтвержденного факта, не укладывающегося в теорию, достаточно, чтобы разбить ее в пух и прах. Возьмите хоть гравитацию. Аристотель был убежден, что тяжелые предметы падают с большей скоростью, чем легкие, – ведь если одновременно сбросить с высоты камень и перышко, камень приземлится гораздо быстрее. Потребовалось немало хитроумных экспериментов и почти две тысячи лет, чтобы доказать неправоту Аристотеля. Существует популярная легенда о том, как в 1589 году Галилей окончательно опроверг устаревшие представления о земном тяготении, взобравшись на Пизанскую башню и сбросив оттуда два пушечных ядра разной массы, которые достигли земли одновременно. Скорее всего, такого эксперимента никогда не было: единственный первичный источник, где он упоминается, – это биография Галилея, написанная одним из его учеников, Винченцо Вивиани, и опубликованная спустя годы после смерти автора. Зато мы точно знаем, что Галилей экспериментировал с шарами различной массы, которые он скатывал по наклонным плоскостям, ослабив таким остроумным способом эффекты земного тяготения, что позволило ему более точно измерять скорости, с какими падают тела. Результаты экспериментов Галилея и исследований немецкого астронома Иоганна Кеплера позже были положены Исааком Ньютоном в основу новой теории тяготения. Эту теорию до сих пор преподают в школах, с ее помощью составляют программы полетов космических кораблей по Солнечной системе, и на нее можно положиться почти в любой ситуации, когда требуется оценить гравитационные эффекты. Почти. Проблема в том, что она не всегда дает точный результат. Теория всемирного тяготения Ньютона позволяет с очень хорошей точностью предсказать эффекты гравитации – настолько хорошей, что в обычной ситуации разница между прогнозом и реальностью просто незаметна. И все же это лишь приближение. В 1915 году Эйнштейн обнародовал свою общую теорию относительности – на сегодняшний день нашу лучшую теорию гравитации. Она объясняет то, чего не может объяснить теория Ньютона, например, такие явления, как смещение орбиты Меркурия или отклонение света звезд вблизи Солнца, и ситуации с экстремальным гравитационным притяжением, как вблизи черных дыр. Никто ни на минуту не считает общую теорию относительности Эйнштейна последним словом в изучении гравитации – ведь она не объясняет, как действует притяжение в мире предельно малого, где царствует квантовая механика. Должна быть какая-то теория, объединяющая законы квантового мира и гравитацию, – мы просто пока не смогли ее найти.

Суть в том, что естественно-научную теорию можно опровергнуть или по крайней мере показать, что она не точна, – но вот доказать, что она всегда, при любых обстоятельствах верна, невозможно. Будущие открытия, о которых мы сегодня ничего не знаем, могут даже от самой стройной и убедительной теории не оставить камня на камне. С математикой же все иначе.

Доказательство – основа всей математической науки. В школе этим занимаются нечасто, там акцент больше на решении задач. Но в высшей математике без доказательства никуда, оно – главнейшая цель всех ученых. Математическую теорию возможно доказать так, чтоб не оставить и тени сомнения в ее правильности, и, будучи доказанной, она уже не изменится. К примеру, теорема Пифагора о сторонах прямоугольного треугольника доказана достоверно: просто немыслимо, что кто-нибудь когда-нибудь ее опровергнет (с оговорками, которые мы обсудим через минуту). Из всех областей знания есть всего две науки – математика и ее близкая родственница логика, – где возможна определенность, не допускающая никаких сомнений.

Так же как и ученые в естественных науках, на начальном этапе математики ищут свидетельства чего-либо, фактический материал – будь то геометрическое правило или закономерность в ряду чисел, – а уже потом выдвигают теорию, объединяющую собранную информацию в единое целое. Но, в отличие от естественных наук, в математике теория не подвергается постоянной доработке на основании новых полученных данных. Сколько бы раз математическая теория ни выдерживала испытания практикой в разных ситуациях и с разными значениями, она не будет признана истинной до тех пор, пока не будет предъявлено ее строгое, безукоризненное доказательство. Сама возможность существования таких доказательств говорит о том, что одних подтверждающих данных, свидетельств, математикам недостаточно.